title: 为什么要公理化实数而不是从自然数导出？
desc: 读陶哲轩实分析，里面是通过皮亚诺公理和集合论公理，利用自然数，经过比例数，然后用比例数的柯西序列导出了实数，然后证明了造出来的这东西符合我们对实数的一般的期望。也就是说，集合论公理皮亚诺公理，再加上点定义就足以造出实数了。<br><br>然后我看卓里奇，用了一组公理刻画了实数。然后自然数反倒是从实数集导出的。<br><br>我就想问了，既然前者可行，为什么还会有后面这种做法？按照我们的直觉，不是自然数更“小”，公理化这个东西并且假设它存在不是更加可靠吗？还有，这两种方法在什么意义上等价吗？<br>--
topic: 数学
content: 谢邀。这代表两种不同的观点：一种是构造式的，我想要得到一个东西，就一定要把这个东西具体地构造出来，具体地写出来一种是公理化的定义，比如实数可以定义成“不可数的完备的阿基米德有序域”（我不确定有没有记漏什么必要的条件或者多写了什么不必要的条件），然后你可以证明这样的东西如果存在，一定是唯一的（在同构意义下唯一）然后最关键的是这样的东西为什么存在？有点耍流氓的做法是：我们可以通过经典的构造实数
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