title: 请问10的N次方+1，当N为偶数的时候，是否产生的数字除了101以外还有没有质数？
desc: 如果还有质数的话最小的是多少？1000173137，10000011019901，100000001175882353... 请问这些质因数是否有循环或其它规律？能否通过心算进行拆分？谢谢
topic: 数学
content: 不是回答。有几个observation： 1. 若N有奇素因子，那么他为合数。（由x^p1x1x^p-1 - x^p-2 ... -1^p可得）。所以只需考虑N 2^n。2. 若N 2^n， M 2^m且m>n，那么10^N 1 与 10^M 1 互素。证：10^2^nequiv -1mod 10^2^n1 > 10^2^mequiv -1^2^m-n1mod 10^2^n1。所以10^M1equiv 2mod 10^N1即gcd10^M1，10^N1mid 2。3. 若 pmid 10^2^n1 ，那么pequiv 1mod 2^n