title: 假设函数f在[0，1]上连续且f(0)=f(1)，那么对落在(0，0.5]上的a是否均存在一个x使得f(x)=f(x+a)(0<=x<=1-a)？
desc: 这个问题在各习题书上均没有找到，所以不知道是否能证出来。在 数学分析中的典型问题与方法 p140 中有提到：当a1n n是大于1的自然数时上述命题是成立的。证明用的是假设辅助函数gxfxa-fx，当a1n时，g0g1n...gn-1n0，从而在x的范围内达到0而a不等1n时，任意整数m，ma恒不为1，g0gag2a在x范围内不可能为0，因此无法使用类似证明。
topic: 数学
content: 原命题是错的。问题的关键在于，a1n成立甚至不能保证a2n成立。一般地，对任意不满足1a是整数的a，可以如下构造fx. 设1naq，0<q<a， 先取定fx在0，a上的取值，使得fq不为0，fa-fqn。然后令fxafx-fqn即可。比如如下反例。考虑a0.4时，取fx -x 当0 <x<0.2 1.5x-0.5 当0.2<x<0.4 -x0.5 当0.4<x<0.6 1.5x-1 当0.6<x<0.8 -x1 当0.8<x<1.0 容易验证： fx在各端点和区间内均连续 f0
answerer_tags: CMU PhD in CS / PKU Alumni