You will need a letter from the company explaining you were asked to go on a business trip for an inevitable reason that you would need a passport quickly.
あと、その際に、会社のほうで用意した「やむを得ない事情でいついつ出張してもらわないといけないため、パスポートがすぐに入り用です」と説明する手紙が必要です。