 Sabit hacimli V bir silindir verildiğinde, toplam yüzey alanı (iki dairesel uç dahil), R yarıçapı ve H yüksekliği için en aza indirilir. H/R'yi bulun.
Sabit V hacmine sahip bir silindir verildiğinde, toplam yüzey alanını en aza indiren yükseklik-yarıçap oranını (H/R) bulmamız gerekir. Hacmi ve yüzey alanını silindirin yarıçapı ve yüksekliği cinsinden ifade ederek başlayalım: - Silindirin hacmi V = πR^2H ile verilir, burada R yarıçap ve H yüksekliktir. - Toplam yüzey alanı (üst ve alt dairesel uçlar dahil) A = 2πR^2 + 2πRH ile verilir. A öznesini V kısıtlamasına göre en aza indirmek için, Lagrange çarpanları veya hesabı yöntemini kullanabiliriz. Ancak bu durumda AM-GM eşitsizliğini farklılaşma olmadan düzgün bir çözüm elde etmek için uygulayabiliriz. AM-GM'ye göre: A = 2πR^2 + 2πRH = 2πR^2 + πRH + πRH ≥ 3(2πR^2)(πRH)(πRH)^(1/3) ((2πR^2)^'den beri) (1/3)≥0 ve (πRH)^(2/3)≥0) = 3(2π^3R^4H^2)^(1/3). İki terim (2πR^2) ve (πRH) eşit olduğunda eşitsizliğin eşitlik haline geldiğine dikkat edin, bu da H/R = 2 anlamına gelir. V = πR^2H olduğundan, R^2H=V/π. Bunu A'nın ifadesinde değiştirerek şunu elde ederiz: A = 3(2πV^2)^(1/3) / H^(1/3) A öznesini V = sabit kısıtlamasına göre en aza indirmek için, sağdakini en aza indirmemiz gerekir. -el taraf, H'de azalmaktadır. Bu nedenle, minimum, H mümkün olduğu kadar büyük olduğunda oluşur, bu da H/R 2 olduğunda elde edilir. Dolayısıyla, çözüm H/R = 2'dir, yani yükseklik iki katıdır toplam yüzey alanını en aza indiren sabit hacimli silindirin yarıçapı.