text: 傳遞函式矩陣是控制系統以及許多工程領域的名詞，是將SISO系統中的傳遞函式擴充套件到MIMO系統。矩陣表示系統輸出跟輸入之間的關係。線上性非時變系統中是格外有用的工具，因為其傳遞函式矩陣可以用S平面來表示。在一些只由被動元件組成的系統中，可以清楚的區分哪些變數是輸入，哪些是輸出。在電子系統中的作法，將所有電壓變陣列合成一組，視為是傳遞函式矩陣的輸出，再將電流變陣列合成另外一組起來，視為是輸入。這樣形成的傳遞函式矩陣中，每個元素都是阻抗。這種阻抗的概念也用到其他能量的學科中，特別是力學及聲學。許多控制系統包括不同的能量形式，其傳遞函式矩陣也會有不同的單位，一方面需要描述其中在各能量形式之間轉換的換能器，另一方面也要描述整體的系統。若系統中有適當能量流動的模型，需要選擇對應的變數，以方便模型的建立。一般.有"m" × "n"矩陣來表示，其中的每一個元素都是由一個輸入轉換到一個輸出的傳遞函式。例如針對三個輸入，二個輸出的系統，可以寫成formula_1其中gmn是傳遞函式。若寫成矩陣運算的形式，可以寫成formula_2其中U是輸入向量。在許多應用中，要分析的系統是線性時不變來表示。因此可以寫成formula_3其中變數及矩陣都以z所代替，但在分析時沒有影響。若矩陣是真分有理矩陣，也就是每一個元素都是真分傳遞函式時，格外有用，可以應用狀態空間的概念。在系統工程中，系統傳遞函式矩陣G ("s")的輸出電子系統.電子系統中的輸入變數及輸出變數往往不容易區分，可能會因環境及觀點而不同。在這種情形下，表達能量流進或流出系統位置的可能會比輸入或是輸出更理想。常常會針對一個埠及流進的電流。例如，雙埠網路可以定義如下：formula_4其中zmn是，或是"z"引數。如此名稱的原因是因為其中每一個元素的單位都是阻抗，而且表示一個埠的電壓及另一埠電流之間的關係。"z"引數不是表達雙埠網路唯一的方式。有六種基本的矩陣表示式，每一種都有適用的特定網路拓樸。不過若是超過二埠的多埠網路，只有二種矩陣表示式可以適合，分別是前面提到的"z"引數，以及其倒數或"y"引數為了說明埠電壓和電流。以及輸入及輸出之間的關係，考慮以下簡單的分壓電路。若只要用輸入電壓("V"2，可以寫成下式formula_5可以視為是1×1傳遞函式矩陣的特例。若埠2沒有電流流出，此表示式可以正確預測埠2的電壓，但若負載電流增加，預測的電壓就會越來越不準。若希望反過來使用這個電路，用電壓驅動埠2，計算埠1的電壓，就算埠1完全沒有負載電流，結果也不正確。其預測的結果會是埠1的輸出電壓比埠2的輸入電壓要大，在這種純電阻電路下是不可能的。為了要正確的預測電路的行為，也需要考慮從埠流過的電流，這也就是傳遞函式矩陣的目的，其阻抗矩陣為formula_6可以在各輸入及輸出條件下，完全描述其行為。在微波頻率下，很難使用用電流及電壓組成的傳遞矩陣。電壓很難直接量測，電流也不可能。而量測技術中需要的開路及短路也無法實現。若是用波導管實現，電路的電壓及電流是沒有意義的。因此傳遞函式矩陣會用其他的變數。例如使用傳送進入的功率以及反射的功率，這個用微波頻率分佈元件電路的傳輸線模型技術即可求得。這類引數中，最廣為人知的是，也稱為是s引數。力學系統及其他系統.電路上阻抗的概念，可以透過轉換為，應用在力學系統或是其他系統上，因此阻抗引數以及其他雙埠網路的引數可以用在其他力學領域中。在此作法中，效果變數視為是電流。在只考慮平移的力學系統中，效果變數和流變數分別是力及速度。用雙埠網路表示機械元件的行為有其好處，因為元件可能會反向運作，其效果和負載在輸入端或是輸出端有關。例如齒輪組常常會用其齒輪比表示，是SISO轉換函式。但齒輪組輸出又用來驅動輸入軸，就需要MIMO分析。在此例中，效果變數是力矩 ω。其z引數的傳遞函式矩陣為formula_7不過，z引數可能不太適合描述齒輪組。齒輪組是變壓器的類比，而h引數適合描述變壓器，因為其中直接用到匝數比，其h引數的傳遞函式矩陣是formula_8其中若是沒有摩擦力的理想齒輪，可以簡化成下式formula_9其中N是齒輪比換流器及致動器.有些系統中利用了不同形式的能量的訊號轉換為電子訊號，例如機械濾波器會需要換流器，將電子訊號轉換為機械的訊號，再將機械的訊號轉換為電子的訊號。在電動機械學中，致動器一般會由電子的控制器來驅動，需要換流器的輸入是電子領域，其輸出為力學領域。可以簡單的用SISO轉移函式來處理，不過可能無法考慮到負載電流的影響。因此比較精準的表示法會用二輸入，二輸出的MIMO傳遞函式矩陣，型式如下：formula_10其中"z"22是機械的阻抗，另外二個阻抗是跨導，有不同的單位聲學系統.聲學系統是流體動力學中的子領域，兩者關注的輸入及輸出變數是壓強Q。像在排氣系統中的消音器，就可以用聲學系統中的二埠系統來表示。其轉換矩陣表示如下：formula_11此處的"Tmn"是傳輸引數，稱為ABCD引數。也可以用z引數來表示此係統，不過傳輸引數在數學的計算有其方便之處，若一個網路的輸出連線另一個網路的輸入時，只要利用矩陣乘法就可以得到新的轉換矩陣。不同的變數轉換方式.若系統中包括了不同的能量系統，在考慮不同系統的類比時需要格外留意。選擇的方式會和分析希望得到的結果有關。若希望正確的為整個系統中的能量流來建模，則系統中的二個變數相乘後需要是功率，這兩個變數需要可以對映到另一個系統的功率共軛變數。一系統中的功率共軛變數不唯一，因此需要在整個系統中用類似的對映方式。一種常見對映方式。每一對效果變數及流變數都是功率共軛變數，此係統稱為，因此效果變數和流變數的比例類似電子電路中的阻抗。除了阻抗類比外，還有另外兩種功率共軛變數的類比方式。將機械繫統中的力類似為電路中的電流，而機械繫統中的力，因為會「穿過」元件作用，仍會類比為電流。有些類比不會用功率共軛變數。例如在感測器中，正確的類比能量不是主要目的可能更重要。例如在熱阻類比中，熱阻會類比為電阻，因此溫度差和熱能就變成電壓及電流。而溫度差的功率共軛不是熱能，而是熵流率，是無法直接量測的物理量。在磁系統中有類似的情形，磁阻會類比為電阻，因此磁通量會類比為電流，而不是將單位時間磁通量類比為電流。歷史.線性代數方程的矩陣表示式已使用一段時間。儒勒·昂利·龐加萊在1907年首次用二個和電機變數。Wegel在1921年首次用類似電機阻抗的方式來說明力學阻抗。第一個用傳遞函式矩陣來表示MIMO控制系統，是在1950年代由Boksenbom及Hood所提出，但只在他們在為美國國家航空諮詢委員會研究燃氣渦輪發動機時所提出。。Cruickshank在1955年提出較嚴謹的基礎，但還沒有完整的通用性。1956年的Kavanagh是第一個完整處理通用性的人，建立了系統和控制的矩陣關係，也提供控制系統可行性的判斷準則，可以讓受控系統有符合預期的行為。
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