text: 在數學中，病態。在分析學中.一個經典的例子的病態結構是魏爾斯特拉斯函式，它處處連續但處處不可微。可微函式和魏爾斯特拉斯函式的總和也是連續的，但是無處可微；所以這種函式至少與可微函式一樣多。事實上，由貝爾綱定理之一可以顯示，連續函式通常是無處可微的。通俗地說，大多數函式都不可微，而且相對較少的函式可以被描述或研究。一般而言，大多數實用的函式也具有某種物理基礎或實際應用，這意味著它們在理論數學或邏輯層面上不能是病態的；如果沒有像狄拉克δ函式那樣的某些限制性情況，它們往往表現得非常常態，直觀。引用龐加萊的話：Henri Poincaré——這突出表明，該術語「病態」是主觀的，依賴於語境，並且正在逐漸消失。它在任何特定情況下的含義都存在於數學家群體中，而不一定在數學本身中。此外，引文顯示數學經常如何透過反例進展到直覺或預期結果；例如所提到的“不可導”與目前對太陽等離子體中磁重聯事件的研究密切相關。在拓撲學中.拓撲學中最臭名昭著的病態之一是，這是一個反例，表明拓撲將球體"S"2嵌入R3中可能無法完全分離空間。作為反例，它激發了馴服的額外條件，這抑制了帶角球所表現出的野性行為。像許多其他病態一樣，帶角球在某種意義上是無限精細的遞迴生成結構，在極限情況下違反了普通的直覺。在這種情況下，在極限範圍內連續的球體互鎖環的不斷下降的鏈的拓撲結構完全反映了普通球體的拓撲結構，而期望在嵌入之後它的外部表現相同。然而事實卻並非如此：它沒有單連通。對於基礎理論，請線上性代數中.定義：如果線性方程組formula_1 中，A或b的元素的微小變化，會引起方程組解的巨大變化，則稱方程組為病態方程組，稱矩陣A為病態矩陣。條件數可以用來衡量方程組的“病態”程度。一種常見的病態矩陣是n階希爾伯特矩陣，隨著階數n的增大，而呈現嚴重的病態。良態.數學家是否良態。該術語沒有固定的正式定義，而是取決於背景、數學興趣、時尚和品味。為了確保物件處在良態，數學家引入了進一步的公理來縮小研究領域。這有利於使分析更容易，但減少了所得結論的一般性。像非歐幾何這樣的概念曾被認為是不正常的，但現在已成為常見的研究物件。在純數學和應用數學中，良態也意味著研究物件滿足目前分析適用所需的一切假設。相反的情況通常標記為病態的。在大多數例子中，這種病態情況並不罕見，但除非故意構建，否則病態情況不會在實踐中出現。術語“表現良好”通常用於絕對意義上——要麼表現得好，要麼反之。例如：雖然較少見，但該術語也可以比較方式使用：病態例項.病態的例項通常具有一些不合乎需要或不尋常的特性，所以難以在理論中包含或解釋。這種病態行為常常引發新的研究，從而產生新的理論和更一般的結果。例如，一些重要的歷史例子如下：在它們被發現時，這些例項被認為是高度病態的；今天，每個例項都被同化為現代數學理論了。這些例子促使他們的觀察者糾正他們的信仰或直覺；有時他們甚至可能需要重新評估基本定義和概念。在歷史的過程中，它們導致了更正確，更精確，更強大的數學。例如，狄利克雷函式是勒貝格可積的，而測試函式的卷積適用於求出任何區域性可積函式的平滑擬合。根據定義，行為是否是病態的，取決於個人的直覺。病態依賴於背景、培訓和經驗——一個研究人員看來是病態，很可能另一個人看來表現良好。病態的例子可以說明假設在一個定理中的重要性。例如，在統計學中，即使柯西分佈的對稱鐘形看起來與許多分佈相似，它也不滿足中心極限定理；其平均值和標準偏差不存在，所以不滿足定理的假設。一些最著名的悖論如巴拿赫-塔斯基悖論和豪斯多夫悖論都基於不可測集的存在性。除非他們採取少數立場否認選擇公理，不然數學家一般都只能接受這些集合存在。計算機科學.在計算機科學中，「病態」對演算法的研究略有不同。這裡，如果輸入是"病態的"。例如，雜湊表通常具有病態輸入：在雜湊值上碰撞的鍵組。快速排序通常具有O("n" log "n")時間複雜度，但是當給定輸入觸發次優行為時惡化為O("n"2 )。這個術語經常作為一種拒絕輸入的方式作貶義使用，例如被專門設計來打破一個在實踐中聽起來很正常的慣例。特殊情況.一個類似但不同的現象是特殊物件，當一般模式存在“少量”例外時——一定量地，對於無限規則的有限的例外集合。相比之下，在病態的情況下，通常大多數或幾乎所有的現象都是病態的，如普遍存在的那樣，例如幾乎所有的實數都是無理數。主觀上，特殊情況，但也將在一般情況下研究狹義的理論，從中得出原始的例子。
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metadata: 病態 (數學)
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