text: 在數學中，二次變差用於分析隨機過程，例如布朗運動和鞅。二次變差是變差的一種。定義.設formula_1是定義在機率空間formula_2上的實值隨機過程，時間t取非負實數。其二次變差也是一個隨機過程，記做formula_3，定義為formula_4其中P取遍區間[0,t]所有的劃分，範數formula_5等於P中最長的子區間的長度，極限使用依機率收斂來定義。更一般地，兩個過程X和Y的協變差為formula_6用極化恆等式可以把協變差用二次變差表示出來formula_7有限變差過程.隨機過程X如果在任意有限區間上都是有界變差的，則稱X是有限變差的。這樣的過程非常常見，尤其是包括所有的連續可微函式。對所有的連續有限變差過程，二次變差都存在且等於0。這個結論可以推廣到不連續的情況。對右連左極的有限變差過程，其二次變差等於間斷點處跳躍值的平方和。具體來說，記X在t處的左極限為formula_8，X在t處的跳躍記為formula_9。則二次變差為formula_10是X在[0,t]上的變差。formula_11由X的連續性，這在formula_5趨於0時的極限也趨於0。伊藤過程.標準布朗運動的二次變差存在，為formula_13。這可以推廣到伊藤過程。根據定義，伊藤過程可以用伊藤積分表示為formula_14其中B是標準布朗運動。這樣的過程，二次變差為formula_15半鞅.可以證明所有的半鞅都有二次變差和協變差。這是隨機微積分理論的重要部分，出現在伊藤引理中。二次協變差也出現在分部積分公式中formula_16這可用來計算[X,Y]。上式也可寫成隨機微分方程的形式：formula_17其中formula_18鞅.右連左極鞅和區域性鞅的二次變差都有定義，因為它們都是半鞅。區域性平方可積鞅M的二次變差[M]是從0開始的右連續的增過程，跳躍值formula_19，使得formula_20是區域性鞅。Karandikar-Rao(2014)給出了[M]存在的一個證明。平方可積鞅有一個有用的結論，可用來計算伊藤積分的變差formula_21只要M是右連左極平方可積鞅且H是有界可預測過程，這個結論總是成立的，常用於構造伊藤積分。還有一個重要結論是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次變差給出了鞅的最大值的上下界。對從0開始的區域性鞅，最大值記為formula_22，對任意實數formula_23formula_24式中formula_25是依賴於p的常數，但不依賴於選取的鞅M和時間t。若M是連續區域性鞅，則不等式對任何p&gt;0都成立。另一種變差，可預測二次變差有時用於區域性平方可積鞅，記做formula_26，定義為從0開始的右連續且遞增的可預測過程，使得formula_27是區域性鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。對連續區域性鞅，可預測二次變差就等於二次變差。
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