text: 波塞利耶-利普金機械，發明於1864年，屬於平面連桿機構，是第一個真正可以將轉動運動轉換為直線運動的平面直線運動機構，它以法國陸軍軍官Charles-Nicolas Peaucellier的名字命名。在此機構發明之前，在沒有參考導軌的情形下，沒有平面機構可以將直線運動完美的轉換為轉動運動。1864年時，所有的動力來自蒸汽機，其中有活塞，由汽缸施力，往上或往下運動。活塞和汽缸需要有良好的密封特性，讓蒸汽機中的蒸汽可以維持在汽缸內，不會因為漏氣而降低能量輸出的效率。活塞和汽缸維持密封的作法是讓活塞維持和汽缸壁平行的直線運動。因此如何讓活塞的直線運動轉換為旋轉運動就變的非常重要，大部份的蒸氣機應用都是旋轉運動。波塞利耶-利普金機械的數學和圓的有關。薩魯斯連桿機構.在波塞利耶-利普金機械之前，有另外一個立體的直線運動機構，稱為，比波塞利耶-利普金機械早11年發明，是由一組以樞紐相連的長方形組成。長方形之間可以以樞紐為軸旋轉，而長方形上的頂點會直線運動。薩魯斯連桿機構屬於立體的空間機構。幾何.在波塞利耶-利普金機械的幾何圖中，有六個固定長度的桿：OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA和OC長度相同，而AB、BC、CD和DA的長度也都相同，形成菱形。O點是固定點。若B點限制在一個圓的圓週上運動。數學證明.共線.首先，需要證明O點、B點和D點共線。這可以用觀察的方式得知，連桿是兩側對稱的，以直線OD為對稱軸，因此B一定在此線上。若要用正式的方式證明。因為邊BD和自身相等，邊BA和邊BC相等，邊AD和邊CD相等，因此三角形BAD和三角形BCD全等，角BAD和角BCD相等。接下來要證明三角形OBA和三角形OBC全等。因為線OA和線OC相等，邊OB和自身相等，邊BA和邊BC相等，因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。以下四個角的和是一個圓角，因此∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°但因為三角形的全等，角OBA = 角OBC，角DBA = 角DBC，因此2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°∠OBA + ∠DBA = 180°因此，點O、B、D共線。反演點.令點P為線段AC和線段BD的交點。因為ABCD是菱形，P會是線段AC和線段BD的中點，因此，線段BP和線段PD等長。因為邊BP和邊DP相等，邊AP和自身相等，邊AB和邊AD相同，因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等於角DPA。但因為角BPA + 角DPA = 180°，因此角BPA和角DPA都是90°。令：formula_1formula_2formula_3則：formula_4formula_5formula_6formula_7formula_8因為OA和AD的長度固定,，因此OB和OD的乘積為定值：formula_9又因為O點、B點和D點共線，因此D點是B點相對圓(O,"k")的反演點。反演幾何.透過的特性，因為點D的軌跡是點B軌跡的反演。若B的軌跡是透過反演中心O的圓，則點D的軌跡會是一直線。若點B的軌跡是不透過點O的直線，則點D的軌跡是透過點O的圓。Q.E.D.典型的主動件.波塞利耶-利普金機械有許多的反演機構。其中一個如圖所示，以滑塊搖桿四連桿為輸入，若要再細分，滑塊為輸入，使得搖桿以及波塞利耶-利普金機械轉動。展覽物.在荷蘭埃因霍溫的永久展覽品中，有展覽物就是以此機構為主題。此展覽物大小為，重，遊客可以透過控制盤操作。
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