text: 相平面中，視覺化的展示特定微分方程特徵的方式。相平面是一個由二個狀態變數為座標軸組成的平面，例如說("x", "y")或("q", "p")等。相平面是多維度相空間在二維空間中的例子。相平面法是指用繪圖的方式，來確認微分方程的解中是否存在極限環。微分方程的解可以形成函式族。用繪圖的方式，可以畫在二維的相平面上，類似二維的向量場。向量會表示某一點對應特定引數的導數，也就是("dx"/"dt", "dy"/"dt")，會繪製在對應的點上，以箭頭表示。若有夠多的點，就可以分析此區域內的系統行為，若有極限環，也可以識別出來。整個場即可形成相圖，在流線上的特定路徑。向量場上的相表示微分方程所說明的系統隨時間的演化。相平面可以用來解析物理系統的行為，特別是振盪系統，例如。這些模型中的相路徑可能是向內旋轉，慢慢趨近0，也可能是向外旋轉，慢慢趨近無限大，或是接近中性的平衡位置，此情形稱為centre，路徑可能是圓形、橢圓或是其他形狀。在判斷其系統是否穩定時很有用。另一個振盪系統的例子是一些多步的化學反應，其中有些會有化學平衡，不是完全反應。此情形下可以將反應物及生成物濃度的變化利用微分方程來建模，可以對其化學動力學有更清楚的瞭解。線性系統的例子.二維的線性微分方程系統可以寫成以下的形式：formula_1可以整理為矩陣方程式：formula_2其中A是2 × 2的，而x = ("x", "y")是二個自變數組成的。此係統可以解析求解，例如積分下式：formula_3不過此解是"x"和"y"的隱函式，也不容易詮釋。用特徵值求解.上述方程常見的解法是用右邊矩陣型式的係數，利用特徵值formula_4求解，利用以下的行列式求得：formula_5以及以下的特徵向量formula_6特徵值表示指數項的冪次，而特徵向量為其係數。若將解寫成代數型式，可以表示為幾個指數項配合對應係數的和。因為特徵向量的唯一性，每一個此方式得到的解會有待確定的係數"c"1, "c"2, ... "cn".通解為：formula_7其中λ1和λ2是特徵值，而(k1, k2), (k3, k4)是基礎特徵向量。係數"c"1和"c"2和特徵向量的唯一性有關，只有在初始條件已知時才能求解。上述行列式可以得到以下的特徵多項式：formula_8是以下型式的一元二次方程：formula_9其中;formula_10以及formula_11特徵值的顯式解可以由求得二次方程而得：formula_12其中formula_13特徵向量及節點.特徵向量及節點會決定相路徑的輪廓，可以用影象來描繪動態系統的解，如下所述：要畫相平面時，會先畫對應二個特徵向量的直線。之後相平面就會用有箭頭的實線代替有向量場上每點的箭頭。特徵值的正負號會影響的相平面的特點：以上說明可以用微分方程解中指數解的行為來理解。重覆的特徵值.若是二個特徵值為相同的實數，會需要透過一個未知的向量以及第一個特徵向量來求解係數矩陣，產生第二個解。不過若系統對應，也可以用正交的特徵向量來產生第二個解。有虛部的特徵值.有虛部的複數特徵值，表示其解包括有[正弦]]及餘弦函式。此情形比較簡單，只需要一個特徵值以及一個特徵向量就可以產生系統的完整解。
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