text: 數學中的穩定性理論。在偏微分方程中可以用Lp範數或是sup範數來量測二個函式之間的距離，而在微分幾何中可以用來量測二個空間之間的距離。在動態系統中，為李雅普諾夫穩定的條件是，在前進軌道上的任何一點，都會在夠小的鄰域中，或是會維持在小的鄰域內。為了判斷軌道的穩定性或是不穩定性，已發展出許多不同的準則。在較理想的情形下，此問題可以簡化成一個已有相當多研究，和矩陣特徵值有關的問題。另一種更通用的方式會用到李亞普諾夫函式。在實務上，會用到許多的穩定性判據。動態系統的簡介.許多微分方程的質性理論以及動態系統的類似理論都在處理其解及軌跡的漸近性質－若經過足夠長的時間，系統會怎麼變化。最簡單的行為是平衡點特性。一個一階常微分方程的自治系統，其平衡解formula_1的性質如下：穩定性代表在小的擾動下，其軌跡不會有太大的變化。不過也有另一種情形，與一軌道相鄰的軌道最終是否會遠離該軌道，有時情形下這也是受關注的特性。一般而言，從初始狀態往某一方向擾動，可能會趨近原來的軌道，往其他方向擾動，會遠離原來的軌道。也有可能有往某特定方向擾動時，軌道的行為比較複雜，既不趨近原來的軌道，也不遠離原來的軌道，此情形下，就無法用穩定性理論得到有關其動態的資訊。穩定性理論中的一個基本概念是軌道在微擾下的質性特性可以用系統在軌道附近進行線性化來分析。在"n"維相空間的平滑動態系統的每個平衡點上，都存在"n" x "n"方塊矩陣"A"其特徵值決定其鄰近點的行為。更準確的說法，若所有的特徵值都是負實數，或是實部為負的複數，其平衡點穩定，有吸引特性的不動點，鄰近的點會以指數衰減的速率趨近平衡點，也就是李雅普諾夫穩定及指數穩定。若其特徵值沒有純虛數或是零，則系統會會趨近平衡點或遠離平衡點的擾動方向就和矩陣"A"的特徵空間，以及其對應特徵值的實數為正值或是負值有關。在一些更複雜的軌域中也有類似的擾動描述。不動點的穩定性.最簡單的軌道是不動點，也稱為平衡點。若一力學系統在穩定平衡點下，輕推一下之後，系統最終會回到原來的位置，像擺的小振盪即為此例。若是有阻尼的系統，穩定狀態會進一步形成漸進穩定。相反的，若是不穩定的平衡點，就像在山頂上的一個球，輕推一下可能就有大的位移，之後可能可以回到原始位置，也有可能無法收斂到原始位置。有許多針對線性系統的穩定性測試方式，非線性系統的穩定性也可以透過其線性化系統的穩定性來判斷。對映.令"f"疊代產生的以下動態系統：formula_14不動點"f"'("a")來進行線性近似：formula_15formula_16意思是導數可以看出函式在疊代會趨近不動點"a"恰為1或−1，還需要其他的資訊來判斷穩定性。在有不動點"n"=1，最大絕對值為1，需要進一步分析，無法用雅可比矩陣測試來判斷。在微分流形上的微分同胚也有類似的準則。線性自治系統.一階常係數線性微分方程不動點的穩定性可以用對應矩陣的特徵值來分析。考慮以下的自治系統formula_17其中"n"×"n"的實數矩陣，有一個固定值的解formula_18。則對應的自治系統狀態mformula_19有一個定值的解formula_20令"J"的所有特徵值實值都是非零的負數，則其解在該點附近是漸近穩定。可以用勞斯–赫爾維茨穩定性判據來測試此一條件。通用動態系統的李亞普諾夫函式.要確認動態方程的李亞普諾夫穩定性或是漸近穩定性，有另一種更通用的方式，是透過李亞普諾夫函式。
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metadata: 穩定性理論
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