text: 廣義有限元方法。背景.非連續性.非連續性，在有限元方法中的定義，指物理場量或其梯度在極小的區間內發生了極大的改變，其中“極小的區間”是相對於觀察定義域而言，“物理場量“包括位移場。建模方法.非連續問題的建模方法，可從基本原理上分為兩類。第一類方法依賴於多項式近似空間，求解過程中重建網格不可避免，對於斷裂力學還需要引入計算量處理裂尖端來避免奇異剛性矩陣，給求解過程帶來極大不便，求解問題被嚴重限制。即便如此，在廣義有限元未被推出時代，傳統有限元被廣泛用在分析非連續問題上，尤其在土木工程中對河床、片岩、葉理、節理、裂紋對管道及地基等基礎設施建造的影響分析中起到重要作用。隨著計算機硬體的提升，工程學上對力學建模的精確程度要求逐漸提高，又由於傳統有限元分析非連續問題帶來的種種複雜性，廣義有限元應運而生。這就屬於非連續問題的第二種建模方法——強化有限元多項式近似空間，使得非連續的建模可以獨立於單元網格。這種方法在傳統有限元的公式中，加入一項特殊的函式，稱為強化項等涉及到非連續介面不斷髮生改變的複雜的問題，該方法都能更有效率、更準確地計算。基本公式.在廣義有限元的基本公式中，第一項與傳統有限元完全一致，第二項是其對傳統有限元近似空間的擴充套件，即強化項，此處為了簡化，只使用了一項強化項作為說明。formula_1其中formula_2為定義域內所有節點的集合；formula_3與formula_4是傳統有限元中的形函式，他們大部分情況下會相等，即是包含非連續的單元網格的節點。formula_7作為該公式中最重要的部分，是結合對解當中非連續性的預瞭解而建立的強化函式：formula_10使formula_7僅僅作用在包含非連續介面的網格單元中。下面解釋最初的廣義有限元概念中，使用的強化函式formula_7：formula_13formula_14其中，formula_15被稱為Level set函式，用於描述非連續介面的位置：formula_16formula_17和formula_18是定義域formula_19被非連續介面分割出的子域。當中formula_20是每個點formula_21到非連續介面formula_22的最短距離：formula_23對於一個一緯杆的弱非連續問題，如果使用1個單元，並給每個節點新增兩個強化函式，用上述基本公式構建的廣義有限元近似空間，其解formula_24可用矩陣形式表示為：formula_25自身問題.雖然廣義有限元的網格獨立性很大程度上提高了非連續的建模，可它基本公示中的強化項卻引入了新的問題。軟體.Abaqus是採用了廣義有限元演算法的商業有限元軟體。
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