text: 正頻率與負頻率的概念，可以簡單用順時針或逆時針轉動的輪子來闡釋：頻率帶正負號，就能同時表示轉動方向和頻率大小，其大小用轉數每秒。正弦波.令"ω"為一非負引數，其單位為rad/sec。若角度"φ"隨時間"t"變化的關係式為"φ"("t") = -"ωt" + "θ"，則式中斜率為-"ω"，稱為負頻率。但是當該角度用作餘弦函式的引數時，其結果便與cos("ωt" − "θ")沒有區別。同樣，sin(−"ωt" + "θ")亦與sin("ωt" − "θ" + "π")沒有區別。因此，任何正弦曲線皆能以正頻率來表示，相位斜率所帶有的正負號不再具有意義。但若同時觀察餘弦與正弦運運算元時，便能確定頻率的符號，因為若"ω" &gt; 0，則cos("ωt" + "θ")比sin("ωt" + "θ")領先1/4圈；反之，若"ω" &lt; 0，則落後1/4圈。同理，一個向量(cos "t", sin "t")以1 rad/sec的角速度逆時針轉動，每2"π"秒轉完一圈，而向量(cos (−"t"), sin (−"t"))則以另一個方向轉動。複指數函式formula_1亦保留"ω"的正負號：因為實部"R"("t")與虛部"I"("t")能分別比較。雖然formula_2組合了sin和cos兩個函式，所以似乎比兩者含有更多資訊，但通常理解其為更簡單的函式，因為所以，也可以將formula_5理解成同時包含正負頻率，但其和事實上有互相抵銷，故其所含資訊是並非更多，反而更少。應用.也許最為人熟知的負頻率應用在於運算式 :formula_6此數測量的，是函式"x"在區間("a", "b")的一段中，所含頻率"ω"成份的強度。若取區間為(−∞, ∞)，對不同的"ω"求出formula_7，則得到函式"X"，稱為"x"的傅立葉變換。一個簡單的解釋是，兩個複正弦波的乘積也是複正弦波，其頻率為原始頻率的總和。因此，當"ω"為正時，乘上formula_8會使所有"x"("t")的頻率都減少"ω"。"x"("t")恰好具有頻率"ω"的部分，將變為零頻率，即常數，而其振幅大小，即為其初始時頻率為"ω"的訊號強度。而"x"("t")處於零頻率的部分，則會變成頻率為-"ω"的正弦波。同樣，所有其他頻率，經減少"ω"後，仍是非零頻率。當區間("a","b")越來越長，常數的貢獻會與區間長度成正比，越來越大。但是正弦波項的貢獻，則僅會在零附近震盪。因此"X"("ω")作為在"x"("t")中頻率值"ω"的相對量度將會提高。formula_9的傅立葉轉換僅會在頻率為"ω"時產生一個非零響應。formula_10的轉換於"ω"與-"ω"處皆具有響應，與式2預測的一樣。
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metadata: 負頻率
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