text: HP濾波是宏觀經濟學中用到的時間序列分析方法，尤其在中較為常用。HP濾波可以從原始資料中分離出週期性的部分，並得到一條平滑的曲線來表述整個時間序列，即把對短期波動更敏感的資料轉成了對長期波動更敏感的表示方式，改變乘數formula_1可以調整其敏感程度。20世紀90年代，兩位經濟學家和諾貝爾獎得主愛德華·普雷斯科特發表了這種方法並受到學界歡迎。不過實際上早在1923年就首次發表了該方法。數學表述.這個方法的思想類似於。令formula_2表示一組時間序列變數的對數，則formula_3由一系列趨勢項formula_4、週期項formula_5和誤差項formula_6組成，即formula_7。給定合適的正數formula_1，存在一個趨勢項滿足formula_9。上式第一項表示變數偏離趨勢項的誤差formula_10的平方和，從而控制了週期項的大小；第二項用乘子formula_1乘上趨勢項二階差分的平方和，從而控制了趨勢項變化的劇烈程度。formula_1越大，後者的控制就越強。霍德里克和普雷斯科特建議季度資料formula_1取為1600，若單位不是季度則formula_1正比於每單位所含季度數的平方，即年度資料取100、月度資料取14,400。雷文則在2002年發表的文章中提出formula_1應該正比於資料每單位所含季度數的四次方，即年度資料formula_1應取6.25、月度資料取129,600。麥克爾羅伊的一篇論文中給出了雙側HP濾波譜分解的精確數學表示式。評價.HP濾波很容易實現，不過它也存在一定缺陷，只在以下嚴苛條件下才能做出最優估計：標準的雙側HP濾波不應該用來估計基於遞迴狀態空間表達的DSGE模型，這是因為HP濾波使用未來的觀測formula_17去構造當前時間點formula_18的結果，但遞迴狀態空間要求當前的觀測僅基於當前和過去的狀態。要解決這個問題，可以使用單側HP濾波。
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