text: 在數學中，長球波函式由一個限時、限頻、與第二個限時的函式相乘而成。假定formula_1表示一個切截時間的運算器，且formula_2，則x必為有限時間區間的函式，當x在formula_3的區間內。同理，假定formula_4表示一個理想的低頻濾波器，且formula_5，則x必為有限頻寬區間的函式，當x在formula_6的區間內。透過組合上述運運算元，使得formula_7轉變成線性、有界且的運算式。對於formula_8，我們假設formula_9為第n項的本徵函式，定義下列函式formula_10其中formula_11為對應的本徵值。此時限函式formula_12即為長球波函式(PSWFs).在此領域中，幾個非常重要的先驅文章由Slepian and Pollak, Landau and Pollak, and Slepian.所提出。這些函式有些不同的意涵，當在解亥姆霍茲方程formula_13，透過在長球面坐標系做變數分離，使得formula_14各代表：formula_15formula_16formula_17formula_18 and formula_19.得到解formula_20為長球波函式formula_21與角球波函式formula_22的成積乘上formula_23. 這裡的變數c可定義為formula_24, with formula_25為長球的橢圓截面的兩焦點的距離。徑向波(The radial wave function)formula_21滿足線性常微分方程:formula_27此本徵值formula_28在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透過設定formula_29為有限函式，當 formula_30.角波函式滿足下列微分方程：formula_31這跟徑向波函式式為同樣的微分方程。然而，這兩式的變數的範圍是不同的(在徑向波函式中formula_32)，在角波函式中formula_33)。當給定formula_34，這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子。當給定formula_35，角波函式可被展開成勒讓德級數。注意，如果我們將角波函式寫成formula_36，函式formula_37將滿足以下線性微分方程：formula_38此函式為球波函式。這個輔助方程式在Stratton 1935年的文章被當作例子。現存不少不同的球函式標準化的方法，在Abramowitz and Stegun.的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及現在的相關文章)都沿用Flammer當初提出來的符號。一開始，球波函式是由C. Niven,提出，他在球座標上引入Helmholtz方程式。許多專題論文已經探討出球波函式的很多面向，例如Strutt, Stratton et al., Meixner and Schafke, and Flammer.等人的作品。Flammer提供了一個完整的討論，計算出長球與扁球的本徵值、角波函式與徑函式。許多電腦程式已經因應發展出來，其中包含King與其團隊, Patz和Van Buren, Baier與其團隊, Zhang和Jin, Thompson,、Falloon. Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函式，延伸了數值解的能力，能運算極廣的變數範圍。Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法，可見於http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。 Flammer, Hunter, Hanish et al., and Van Buren et al.等人也提出了數值解的整理表格。NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(http://dlmf.nist.gov)是個瞭解球波函式的良好資源。關於值域落在單位球的表面的長球波函式，我們通稱為"Slepian functions" (另見「頻譜集中問題」)。這函式存在非常多的應用，像是大地測量以及宇宙學.
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metadata.title: 長球波函式
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