text: 尤拉-麥克勞林求和公式在1735年由萊昂哈德·尤拉與科林·麥克勞林分別獨立發現，該公式提供了一個聯絡積分與求和的方法，由此可以匯出一些漸進展開式。公式.設為一至少階可微的函式，，則formula_1其中證明.證明使用數學歸納法以及黎曼－斯蒂爾傑斯積分，下文中假設的可微次數足夠大，。為了方便，將原式的各項用不同顏色表示：formula_3k=0的情形.容易算出formula_4formula_5其中橙色的項透過分部積分可化為formula_6假設k=n-1時原式成立.formula_7處理積分.formula_8將處理後的積分代入.formula_9得到想要的結果。餘項估計.尤拉-麥克勞林求和公式的精確度通常不一定隨著的增加而增加，相反地，如果相當大，則積分項也會很大。右圖是在計算調和級數的前100項時用Mathematica算出不同的對應的積分項的絕對值：應用.透過尤拉-麥克勞林求和公式可以給出黎曼ζ函式的漸進式：formula_10其中formula_11其他形式.尤拉-麥克勞林求和公式有時也被寫成如下形式：formula_12這是尤拉給出的原始形式。
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metadata.title: 尤拉-麥克勞林求和公式
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