text: 光線轉換矩陣分析(又稱ABCD矩陣分析)，是用於某些光學系統，特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix)，這個矩陣與一代表光線的向量相乘之後，可以得到光線在該系統中的執行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中，用以追蹤透過粒子加速器中磁鐵裝置的粒子，詳情請見電子光學。以下介紹的技術使用了近軸逼近法，此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。定義.光線追蹤技術以兩個平面為參考面，分別為輸入平面與輸出平面，這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外，為了理論的一般性，我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ1，從距離光軸 "x"1 的入射面進入系統，並在距光軸的"x"2的輸出面呈θ2射出，而"n"1, "n"2分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。這些引數可表成下列關係式:formula_1當formula_2且formula_3這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結，M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根據折射定律與幾何關係，可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。formula_4因此，若是輸入面與輸出面在同一個介質中，或是在具有同一個折射率的不同介質中，M等於1，相似的技術可以應用於電路學上，見二埠網路。範例.若兩個面中有空間存在，光線轉換矩陣可以表示成:formula_5其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量)，此矩陣有下列關係:formula_6兩光線各別的引數可表示如下:formula_7另一個範例為一薄透鏡，其光線轉畫矩陣為:formula_8其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統，光線轉化矩陣可以互動相乘，形成一總括光線轉化矩陣，以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:formula_9注意，矩陣的乘法並沒有交換率，因此下面的系統先為一薄透鏡，後為一空間。formula_10因此，矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率的介質，或者是面鏡的反射等等。光線轉化矩陣表格.簡易的光學元素共振穩定性.RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用，像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同，具100%反射率、曲率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的，上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2，彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統，此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:formula_11光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器)，意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦，並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的”eigenrays”，入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得：formula_12此為一本徵方程式：formula_13其中I為一2x2單位矩陣。我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值：formula_14可匯出以下特徵方程式：formula_15其中formula_16是RTM的軌跡，且formula_17是RTM行列式值的倒數，帶入消去後我們可以得到:formula_18其中formula_19是穩定引數。本徵值是本徵方程式的解，由一元二次方程式可以解出:formula_20現在，考慮一個光線透過系統N次:formula_21如果此波導是穩定的，所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方，意即λN必須是有限的。吾人假設g2&gt;1，則兩本徵值均為實數，又因為λ+λ- = 1 ，因此其中一個的絕對值必須大於1，這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中，g2≤1，以及本徵值可以用複數形式表示:formula_22以g=cos(φ)表示。假設 formula_23 且 formula_24, formula_25是formula_26, formula_27的本徵向量，此兩向量橫跨所有向量空間，因為他們是正交因此輸入的向量可以被表示成:formula_28,formula_29 and formula_30為某常數再透過N個波導後，輸出則為:formula_31這代表一個週期函式。高斯光束的光線轉化矩陣.光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波長為λ0，曲率半徑為R，光點大小w，折射率n，我們可以定義出一複數光束引數(complex beam parameter) q:formula_32此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:formula_33其中k為標準化常數，此常數可以讓光束向量的第二個成分為1，利用矩陣乘法:formula_34且formula_35由上式除以下式可得:formula_36此方程式常以倒數形式表示:formula_37範例：Free space.假設一光束透過一距離為d的空間，光線轉化矩陣為:formula_38因此formula_39這表示，透過一空間會增加半徑d。範例：薄透鏡.假設一光束透過一焦距為f的薄透鏡，光線轉化矩陣為:formula_40因此formula_41formula_42再次強調，只有q的實部會被影響，曲率半徑會減少1/f。
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metadata.title: 光線轉換矩陣分析
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