text: mean =formula_2|median =formula_2|mode =formula_2|variance =formula_5|skewness =formula_2|kurtosis =formula_7|entropy =formula_8|mgf =formula_9|char =formula_10|維格納半圓分佈是一以物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)命名的機率分佈。其機率密度函式(Probability Distribution Function)係一存在[-R,R]區間內的半圓形分佈、以(0,0)為中心點並經過適當規範化(Normalized)的結果，因而其實其函式圖型是一半橢圓形。formula_11for −"R" ≤ "x" ≤ "R", and "f"("x") = 0 if "R" &lt; "|x|".此機率分佈可做為一大小接近無限的隨機對稱矩陣，其特徵值(Eigenvalues) 的分佈限制範圍。它是一個經過縮放的Β分佈(Beta Distribution)。精確而言：當Y值有B分佈(α = β = 3/2)時，則其"X" = 2"RY" – "R"值具備上述分佈特性。性質.第二種切比雪夫多項式(Chebyshev Polynomial)是此分佈的正交多項式 (Orthogonal Polynomial) 。對於正整數"n"，此分佈之第2"n"項動差(Moment)為：formula_12此處 "X"是一隨機變數，而"C""n"是第"n"項 卡塔蘭數(Catalan number)：formula_13因此若R=2，此分佈之動差為卡塔蘭數。若以 formula_14 替代式子動差生成函式(Moment generating Function)內的x，則我們可以發現：formula_15並得以此式子得出(詳見Abramowitz and Stegun §9.6.18) ：formula_16式中的 formula_17 是一變異貝索函式(Modified bessel functions)。同樣地，其特徵方程式：formula_18其中的 formula_19 是貝索函式。( 詳見 Abramowitz and Stegun §9.1.20) 。若取一有限且接近0的實數 formula_20，則維格納半圓分佈成為一狄拉克δ函式 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)formula_21與非古典機率的關係.在 非古典機率 (free probability) 理論中，維格納半圓分佈有著如同常態分佈 (Normal Distribution) 在古典機率中一樣的角色。也就是說，在非古典機率中，累積量 (Cumulant) 的角色被"自由累積量" (free Cumulant、待翻譯)。
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metadata.title: 維格納半圓分佈
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