text: 單位四元數是等價的，但是避免了尤拉角表示法中的萬向鎖問題。比起三維正交矩陣表示，四元數表示能夠更方便地給出旋轉的轉軸與旋轉角。基本方法.用四元數來表示旋轉要解決兩個問題，一是如何用四元數表示三維空間裡的點，二是如何用四元數表示三維空間的旋轉。四元數表示空間中的點.若三維空間裡的一個點的笛卡爾座標為 (zk 表示。單位四元數表示一個三維空間旋轉.設 p 是一個純四元數，定義formula_1則 p)。與正交矩陣表示的關係.四元數的表示與正交矩陣表示是等價的，這可以透過直接的代數計算得到。仿照關於單位複數的尤拉公式的證明方法，可以得到單位四元數的尤拉公式：formula_2顯然，當 z=0 的時候就回到一般的尤拉公式。設formula_3formula_4formula_5則formula_6為簡便起見，令formula_7formula_8省略號表示由第一項透過簡單的輪換可以得到的項。最後得到四元數的矩陣表示為formula_9設formula_10運用簡單的三角恆等變形可以得到，formula_11容易驗證，θ 就是旋轉角。旋轉軸與旋轉角.由四元數的結合律馬上可以得到，若r為單位純四元數，則formula_12這表明q，計算它的虛部，我們就馬上可以知道轉軸是什麼。同時，根據四元數的正交矩陣表示，我們又可以馬上得到，計算一個單位四元數的實部，它的反餘弦值給出旋轉角的一半。於是我們馬上可以看到用四元數相對於正交矩陣表示的優勢：在四元數表示下，計算轉軸和旋轉角變得異常簡單。進一步地，這表明了三維空間中的每一個旋轉都可以用單位四元數表出。若進一步要求 x 非負，則這種表出是唯一的。旋轉操作的複合.顯然有：formula_13於是兩個旋轉操作的複合，只需要將對應的單位四元數相乘，這一點比尤拉角表示要簡單。與超球面、典型群、自旋群的關係.首先很容易看到，單位四元數與3-球面S3同構。其次，根據單位四元數的矩陣表示，我們又知道，存在一個單位四元數到特殊正交群 SO(3) 的同態，但這不是同構。給定一個角 θ 對應的正交矩陣相同，但是由尤拉公式給出的單位四元數不同。實際上，這反映了在三維空間中旋轉 2π 弧度和旋轉 4π 弧度是不等價的，量。事實上，單位四元數群與自旋群 Spin(3) 同構。這也表明，S3與自旋群 Spin(3) 同構。進一步地，它們微分同胚。另一方面，單位四元數群與複數域上的2-球面同構，於是與特殊正交群 SO(2,C) 同構，而後者實際上就是特殊酉群 SU(2)。S3 與 SU(2) 也是微分同胚的。
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metadata.title: 四元數與空間旋轉
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