text: 拉馬努金求和是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統的和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。求和法.拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數和性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用尤拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則，可得：formula_1拉馬努金寫道：當"p"趨近於無限大，formula_2，其中"C"是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設"R"趨近於0，而"x"趨近於無限大；當一函式 "f"("x") 在"x" = 0不發散：formula_3其中拉馬努金假設formula_4。若設formula_5，可得到尋常收斂級數的求和式。當一函式 "f"("x") 在"x" = 1不發散，可得：formula_6"C"(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。發散級數的和.下文中，formula_7表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本，筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。舉例來說，1 - 1 + 1 - 1 + ⋯的formula_7為:formula_9。拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念，亦即部分和不會收斂到formula_7這個值。又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉馬努金和formula_7：formula_12延伸至正偶數冪，可得：formula_13而奇數冪的結果則與伯努利數有關：formula_14目前有提議採用"C"(1)取代"C"(0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數formula_15允許唯一的拉馬努金求和結果。如此拉馬努金求和的定義與早期拉馬努金求和"C"(0)不相同，也與收斂級數求和的結果不相同；但其帶有有趣的性質：若"R"("x")趨近於一個有限值極限，當"x" → +1，則此級數formula_16是收斂的，而可得formula_18。特別是如下例子：formula_19其中"γ"是尤拉-馬斯刻若尼常數。拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用尤拉-麥克勞林求和公式可寫出formula_20，此為ζ函式正規化演算積分的自然延伸。迭代方程式為有限的，因為當formula_21，formula_22；其中formula_23要是formula_24，拉馬努金求和可以應用在量子場論的重整化方法，得到有限值的結果。
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metadata.title: 拉馬努金求和
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