text: 在連續介質力學中，物質導數的變動率，而該物質元受制於由時間和空間決定的宏觀向量場。物質導數可作為連續介質力學對形變的尤拉和拉格朗日描述之間的連結。例如在流體動力學中，向量場為流速，而感興趣的量可能為流體溫度。在這種情況下，物質導數描述的就是某一流體塊沿其流動時隨時間的溫度變化。其他名稱.物質導數有很多其他名稱，包括：定義.對於任何宏觀張量場y，其物質導數的定義如下：formula_1其中∇"y"為張量的協變導數，而u(x, "t")則為流速。一般來說場u·∇"y"的對流導數，就是包含場的協變導數的那一個，可被詮釋為u·(∇"y")的，又或是場(u·∇) "y"涉及流線的方向導數，而兩者的結果相同。只有這個包含流速的空間項在描述場流中的運輸作用，而另一個項只是在描述場的內稟差異，因此與任何流的存在無關。令人混亂的是，有時會使用“對流導數”一詞來稱呼整個物質導數"D/Dt"，而不是稱呼u·∇這個空間項。在定義中與時間無關項的效果，在純量場和向量場的個案中分別被稱為和對流。純量和向量場.比方說，對於宏觀純量場"φ"(x, "t")和宏觀向量場A(x, "t")，物質導數定義會變成：formula_2在純量個案中的∇"φ"就只是純量的梯度，而在向量個案中的∇A則是宏觀向量的協變導數。特別是三維平面直角坐標系("x"1, "x"2, "x"3)中的純量場，速度u的分量為"u"1、 "u"2、"u"3，而對流項則為：formula_3發展.已知純量"φ" = "φ"(x, "t")，其中"t"為時間，x為位置。這裡的"φ"可能是物理量，例如溫度或化學濃度。這個純量為"φ"的物理量存在於連續介質，而介質的宏觀速度可被向量場u(x, "t")所表示。用鏈式法則展開"φ"對時間的導數可得：formula_4很明顯這個導數取決於向量formula_5它描述的是空間中的“被選擇”的路徑。舉例說，若被選擇的是formula_6，則時間導數變成與時間偏導數相等，與偏導數的定義一致：對某變數。這是合理的，因為若formula_7，則取導數的位置是固定的。這個靜位置導數叫尤拉導數。這個個案的另一個例子是站著不動的泳客在清晨感知到湖中的溫度變化：湖水因為太陽的加熱而變得愈來愈暖。在這個個案中formula_8 一項足夠描述溫度的變化率。若太陽沒有加熱湖水點不變。這是因為取時間導數時泳客的位置在改變，而右邊第二項formula_10不足以描述溫度的變化。附在泳客身上的溫度感應器可以展示出隨時間變化的溫度，這個變化純粹是因為泳池一端與另一端的溫度差異。最終取物質導數時所選擇的路徑x("t")，其速度等於流體速度formula_11也就是說，路徑跟隨了由流體速度場u所描述的流體流。因此，純量"φ"的物質導數為formula_12在這個案中可舉一個例子，一個輕量的自然浮點在流動的河上飄著，同時亦經歷到溫度轉變。區域性河水的溫度增加，可能因為河上的光影分佈，又或是整條河在整天的過程中被加熱。由浮點運動所引起的轉變。上述的定義取決於流體流的物理性質。然而，這情況不需使用任何物理定律，但實驗上許多物理概念可用物質導數來精確描述。但是一般的平流個案取決於流體流的質量守恆；若平流發生於非守恆介質，則情況會稍為不同。上述的純量只考慮了一條路徑。對向量而言，梯度變成了張量導數；對張量場而言，可能要考慮的不僅是由流體移動所引起的座標系統平移，還有其旋轉和伸展。以上可經由使用來實現。正交座標系.可以證明在正交座標系中，物質導數的對流項中的第"j"分量如下：formula_13其中"h""i" 與度量張量的關係由下式表示：formula_14在三維平面直角坐標系("x", "y", "z")的特殊個案中，當中A為1-張量，則其物質導數只是：formula_15另見.
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metadata.title: 物質導數
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