text: 在數學上，群範疇指的是以群為物件、以同態對映為態射，也因此這是個具體範疇，而研究這範疇的理論即是群論。與其他範疇的關係.群範疇有兩個以群範疇為定義域的遺忘函子，其中一個是對映至么半群的函子M: Grp → Mon；另一個是對映至集合範疇的函子U: Grp → Set。在這其中，M有兩個伴隨函子，其中一個I: Mon→Grp是右伴隨函子；而另一個K: Mon→Grp則是左伴隨函子；其中I: Mon→Grp是將所有的么半群對映至其可逆元素的子么半群的函子；而K: Mon→Grp則是將所有的么半群對映至的函子；此外，遺忘函子U: Grp → Set則有一個以合成函子形式出現的左伴隨函子KF: Set→Mon→Grp，其中F是自由函子，這自由函子會將每個集合S對映至由S產生的自由群。範疇性質.群範疇當中的單態射即是同態單射；而其即是同態滿射；而其同構對映即是同態雙射。群範疇是，也同時是。其範疇─理論積即是群的直積；而其則是群的自由積。這個範疇的零物件則是當然群，也就是隻包含單位元的群。非可加性故非交換性.Ab是群範疇的完全子範疇。Ab是一個交換範疇，但群範疇本身不是交換範疇；事實上，群範疇甚至不是可加範疇，而這是因為在兩個群同態之間，通常沒有可自然定義的「和」之故。以下為其證明：三階對稱群"S"3映至自己的對映formula_1有十個元素，其中"z"是一個formula_2中的任一元素與之相乘都會得到"z"的元素；另外還有六個是自同態對映。假定群範疇是個可加範疇，那這個有十個元素的集合formula_2就會是一個環；而在任何的環當中，都會有一個零元素0，使得對環中所有的元素"x"而言，都有0"x"="x"0=0，因此"z"會是formula_2中的零元素；然而，在formula_2，沒有任何兩個非零元素的乘積會是"z"，因此這會是一個無零因子的環；而一個無零因子的有限環會是一個域，但沒有一個域會有十個元素，而這是因為每個有限域的元素個數都會是質數的冪之故。正合序列.在群範疇中，正合序列是有意義的，而一些在阿貝爾範疇中成立的定理及其結果，像是九引理以及五引理等，在群範疇中也成立。群範疇是一個。
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metadata.title: 群範疇
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