text: 三元數是指建立在實數域上的三維代數系統。這種代數系統無法被良好構建，因此這個代數系統並未有一個廣泛被接受的定義模式。一般而言，通常會稱三元數不存在。這是因為三元數的乘法運算不滿足群的規則，也無法滿足可除代數的要求。部分對這樣的問題定義了許多種不同的模式來規避這個問題。部分將三元數與四元數一同探討，因為四元數是在探尋三元數的過程中發現的。雖然三維代數系統無法被良好構建，而有研究指出六維代數系統則有機會被構建，即六元數（--歷史.三元數最早在哈密頓描述四元數時被提及。漢密爾頓知道複數可以解釋為平面上的點，他正在尋找一種方法來對三維空間中的點做同樣的事情，即找尋三元數，因為當時認為發現三元數能對數學、物理等領域能有一定的貢獻。然而經過了反覆嘗試，最後無法解決三元數在乘法與除法上的問題，反而是導致了四元數的發現。概述.一般的複數由2個單位元素組成，分別是1和"j"相乘時會出現formula_6或formula_7項，這是一個新的元素，並未落在原有定義的formula_5中，而使得這樣的定義方式無法使其滿足群的規則。一般而言，定義為formula_5且formula_10的三元數無法存在可由以下過程證明：令formula_11，且"c"均為實數，則formula_12formula_13formula_14比對兩側"ij"的情況。各種三元數的研究均針對此點提出自己的三元數定義，例如部分第二元素和第三元素的積定義為其線性組合來使乘法結果仍在群內，部分重新定義了運算規則來使三元數能夠滿足群的規則。例如，將三元數定義為formula_16，並令formula_1、formula_18、formula_19，如此一來就能定義乘法：formula_20其中formula_16，formula_22。然而，這樣的代數結構的乘法將不具備結合律特性，例如formula_23的情況：formula_24formula_25此時可以看到formula_26這代表formula_27。因此這種方是定義的三元數僅遵循乘法交換律和乘法對加法的分配律。另一種三元數的定義則是將"ij"定義為0。
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metadata.title: 三元數
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