text: 在統計力學和數學中，波茲曼分佈，是一種機率分佈或機率測度，它給出一個系統處於某種狀態的機率，是該狀態的能量及溫度的函式。該分佈以下列形式表示：formula_1其中T的乘積。符號formula_2表示比例這裡的「系統」一詞具有非常廣泛的涵義；它適用的範圍可以從「足夠數量」的原子集合到一個宏觀系統，例如天然氣儲罐。因此，波茲曼分佈可以解決非常廣泛且多樣的問題。該分佈表明，能量較低的狀態總是有較高的機率被佔用。兩種狀態的機率比稱為波茲曼因子，其特徵在於其僅取決於兩狀態之能量差：formula_3波茲曼分佈以路德維希·波茲曼的名字命名，他於1868年研究熱平衡中氣體的統計力學時首次提出了這一分佈。波茲曼的統計力學成果證明於他的論文“論熱力學第二定律與熱平衡狀態的機率之間的關係”該分佈後來被喬賽亞·威拉德·吉布斯以現代通用的形式進行了廣泛的研究。廣義波茲曼分佈是熵的統計力學定義等價的充分必要條件。不應將波茲曼分佈與馬克士威-波茲曼分佈或馬克士威-波茲曼統計混淆。波茲曼分佈給出了系統處於某一狀態的機率，作為該狀態的能量的函式，而馬克士威-波茲曼分佈給出了理想氣體中的粒子速度或能量的機率。分佈形式.波茲曼分佈是狀態能量與系統溫度的機率分佈函式，給出了粒子處於特定狀態下的機率。其具有以下形式：formula_6其中formula_7為狀態i的機率，formula_8為狀態i之能量， formula_9為波茲曼常數，formula_10為系統的絕對溫度，而formula_11是系統中我們有興趣且可知的狀態數量。分母的歸一化常數formula_12對系統所有狀態進行總和，是規範的配分函式：formula_14這個結果源自於所有可能狀態的機率之和必須為1的約束條件。波茲曼分佈是使熵最大化的分佈。formula_15受制於約束條件時，formula_16等於特定的平均能量值。對於一個我們感興趣的系統，若是知道系統中各狀態的能量，可以直接計算此係統的配分函式。各種原子的配分函式可以在NIST Atomic Spectra Database找到。該分佈表明，低能量的狀態比起高能量的狀態具有較高的分佈機率。同時，它也能夠定量地比較兩能階分佈機率的關係。狀態i與狀態j的分佈機率比為：formula_17其中，formula_18為狀態i的機率，formula_19為狀態j的機率，而formula_20和formula_21分別為狀態i和狀態j的能量。兩能量對應的機率比，必須考慮它們的簡併能階。波茲曼分佈通常用於描述粒子的分佈，例如原子與分子在各種束縛態的分佈情形。實際上，粒子處於狀態i的機率會等於處於狀態i的粒子數除以系統中所有粒子的總數，即：formula_22其中formula_23為處於狀態i的粒子數，formula_24為系統中所有粒子的總數。我們可以使用波茲曼分佈找出該機率。正如上式，機率等於位於狀態i的粒子數與總數之比例。因此，我們可以位於狀態i的粒子數比例表示成一以能量作為變數的函式：formula_25這個等式對於光譜學來說非常重要。在光譜學中，我們觀察到一個原子或分子從一狀態躍遷至另一狀態的譜線。一般來說，越大比例的分子在第一能態，意味著發生越多的從第一至第二能態的躍遷。此現象可從越強的譜線觀察到。然而，除了分子數比例外，也有其他因素會影響譜線的強弱，例如禁制機制。機器學習中常用的softmax函式與波茲曼函式有關。統計力學上的應用.在統計力學中，波茲曼分佈會出現在熱平衡也有相關的應用。正則系綜給出了各種可能狀態的機率分佈在一固定體積、封閉且有熱庫的熱平衡系統。此時，正則系綜具有波茲曼形式的機率分佈。數學上的應用.在數學上，波茲曼函式更廣義的形式為。在統計學與機器學習中又被稱為。在深度學習中，玻爾茲曼分佈被用於隨機神經網路的取樣分佈，例如玻爾茲曼機，受限玻爾茲曼機和深度玻爾茲曼機。
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metadata.title: 玻爾茲曼分佈
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