text: 偏微分方程數值方法是數值分析的一個分支，研究如何得到偏微分方程(PDE) 的數值解。一般來說，對於雙曲型方程、 拋物型方程或橢圓方程都有專門的數值方法。方法概述.有限差分法.在這種方法中，函式由它們在某些網格點處的值表示，並透過這些值的差分來近似導數。有限元法.有限元法 (FEM)是一種數值技術，用於尋找微分方程邊值問題的近似解。它使用變分法，以最小化誤差函式和得到穩定的解。類似於連線許多短線可以逼近一個更大的圓的想法，FEM 是指透過在許多小的子區域上構建許多簡單的有限元方程以在更大的區域上逼近更復雜方程的一類方法。將小區域上的方程聯立後，有限元法一般會得到一個大的代數方程組。有限體積法.有限體積法是一種以代數方程的形式表示和計算偏微分方程的方法 [LeVeque, 2002;託羅，1999]。類似於有限差分法或有限元法，取值是在網格上的離散位置計算的。 “有限體積”是指網格上每個節點周圍的小體積，函式在這個節點的離散值被視為函式在這個小區域內的平均值。有限體積方法中，使用散度定理包含散度項的偏微分方程中的體積積分轉換為曲面積分。然後將這些項作為每個有限體積表面處的通量進行求值。因為進入給定體積的通量與離開相鄰體積的通量相同，所以這些方法是守恆的。有限體積法的另一個優點是它易於定製以使用於非結構化網格。該方法用於許多計算流體力學軟體包。譜方法.是在應用數學和科學計算中用於對某些微分方程進行數值求解的技術，通常會涉及到使用快速傅立葉變換。這個想法是將微分方程的解寫為某些“基函式”的和，然後選擇出最符合微分方程的係數。譜方法和有限元方法密切相關並且建立在相同的思想之上；它們之間的主要區別在於譜方法使用在整個域上非零的基函式，而有限元方法使用僅在小子域上非零的基函式。換句話說，譜方法採用"全域性逼近，"而有限元方法使用"區域性逼近"。部分出於這個原因，譜方法具有出色的誤差特性，當解是光滑的時，所謂的“指數收斂”是最快的。然而，沒有已知的三維單區域的譜方法激波捕獲結果。 "在有限元社群，有限元的階非常高，或隨當網格引數 h" 減小趨於零而增加的方法有時稱為譜元法。無網格方法.不需要連線模擬域資料點的網格。無網格方法可以模擬一些其他困難型別的問題，但需要額外的計算時間和程式設計工作。區域分解方法.透過將邊界值問題拆分為子域上的較小邊界值問題並迭代以協調相鄰子域之間的解決方案來解決邊界值問題。每個子域一個或幾個未知數的粗略問題用於進一步協調全域性子域之間的解決方案。子域上的問題是獨立的，這使得域分解方法適用於平行計算。域分解方法通常用作Krylov 空間迭代方法的預處理子，例如共軛梯度方法或GMRES 。多重網格方法.數值分析中的表現出多種行為尺度的問題中非常有用。例如，許多基本鬆弛方法對短波長和長波長分量表現出不同的收斂速度，這表明對這些不同尺度的處理方式不同，就像在多重網格的傅立葉分析方法中一樣。 MG 方法可以用作求解器和預條件子。比較.有限差分法通常被認為是最容易學習和使用的方法。有限元法和有限體積法廣泛應用於工程和計算流體動力學中，非常適用於複雜幾何體中的問題。如果解足夠光滑，譜方法通常是最精確的。
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