text: 四次平面曲線是四的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程：formula_1A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數，不過方程式若乘以非零的任意數，不會改變曲線，因此可以將其中一個常數固定為1，留下14個可調整的常數。四次曲線的空間可以視為是formula_2的實射影空間。依照，若考慮一般位置下14個不同的點，透過這十四個點的四次平面曲線唯一，因此四次平面曲線的自由度為14。四次曲線最多可以有：也可以考慮在其他數學域中的四次曲線，例如在複數中的四次曲線。此時可以得到黎曼曲面，在C上是一維的物件，但在R上是二維的物件。例如，另外也可以探討射影平面下的曲線，由齊次多項式所定義。舉例.上述曲線中，係數的不同組合產生了以下重要的曲線族。&amp;符號曲線.&amp;符號曲線是以下方程對應的四次曲線formula_3其虧格為0，有三個一般的雙點，都在實數平面上。Bean曲線.Bean曲線是以下方程對應的四次曲線formula_4其虧格為0，在原點有一個奇點，是一個一般的三次點Bicuspid曲線.bicuspid是方程式如下的四次曲線：formula_5其中"a"決定了曲線的大小。bicuspid只有二個node為奇異點，因此是虧格為1的曲線。Bow曲線.Bow曲線是方程式如下的四次曲線：formula_6在"x"=0, "y"=0處有單一的三重點，是有理曲線，虧格為0。Cruciform曲線.Cruciform曲線是以下方程的四次曲線formula_7其中"a"和"b"為決定曲線形狀的引數。Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換"x" ↦ 1/"x", "y" ↦ 1/"y"轉變為橢圓"a"2"x"2 + "b"2"y"2 = 1，因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在實射影平面中有三個雙重點，是。此曲線是有理曲線，引數化後的結果也是有理函式。例如，令"a"=1及"b"=2，可得以下的引數式formula_8其中唯一一個無法引數化的點是會讓引數式分母為零的點。Spiric截面.可以定義成對x軸及y軸對稱的四次平面曲線。Spiric截面包括在環面曲線中，其中包括了及卡西尼卵形線。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。笛卡兒座標系下的方程式為formula_9極座標系的方程式為formula_10三葉線.三葉線是以下方程的四次平面曲線formula_11在求解"y"後，曲線可以表示為以下的方程：formula_12其中二個±是彼此獨立的，因此每一個"x"會對應四個"y"值。三葉線的引數式為formula_13在極坐標下的方程如下formula_14這是玫瑰線中"k" = 3的特例。三葉線在原點處為三重點，有三個二切線。
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