text: 在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之間的差異——它們的時空坐標為洛侖茲變換所聯絡。對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特別地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。我們使用反雙曲函式wartanh(v / c)，其中−∞ &lt; w &lt; ∞。歷史.在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的，即為一個虛數角度的旋轉。 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量，且具有可加性。1910年，和E. T. 惠特克提出用此引數來取代速度的觀念。而這個引數被 (1911)命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。雙曲線扇形面積.雙曲函式xy=1的，是由提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線"x" = "y"。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線"xy" = 1來表示，其中速度為零的點對應到點formula_1。任何一個雙曲線上的點都能以點formula_2 表示，其中的w也是從點formula_1 到點formula_2與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線formula_5，將快度作為引數曲線的引數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲引數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函式理論的發展，以及閔考斯基圖。在一維空間中.快度w出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積formula_6矩陣p2 - q21，因此(p, q)將會落在上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。在矩陣指數表示法中，Z是矩陣formula_9不難證明formula_10這顯現出了快度實用的求和性質：若C為參考座標系，則formula_11其中 P的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於cosh "w"formula_12因此快度γ和β中。我們將快度與速度加成式聯絡在一起formula_13藉由formula_14從而得到formula_15formula_16固有加速度的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。指數和對數關係.由上述的表示式可以得到formula_17因此formula_18或是更加清楚地表示為formula_19相對論性都普勒效應因子與快度"w"的關係為formula_20。在多維空間中.相對論性速度formula_21與快度formula_22為下列關係所聯絡formula_23其中的向量formula_24是勞侖茲群對應的李代數formula_25中，由三個formula_26張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的formula_27。因為光速formula_28是速度量值的上限，所以速度符合條件formula_30，因此速度空間可以用一個半徑為formula_31的開球formula_32表示。一般性的快度求和公式為formula_33其中formula_34對應到速度加成式，formula_35是formula_21方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為formula_37的快度formula_38之和的模formula_39由給出formula_40快度空間上的幾何結構，透過對應的對映繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量formula_41來引數化的旋轉，兩者組合而成。formula_42這裡使用到了物理學家慣用的指數對映。這是交換法則所致的結果formula_43其中formula_44是旋轉群的生成元，formula_45，這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於引數formula_41的計算方法。在粒子物理中.一個非零質量p 為：formula_47formula_48透過快度w的定義formula_49並且formula_50formula_51能量和動量大小可以被表示為formula_52formula_53所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：formula_54然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義formula_55其中p"z"是沿著粒子束方向的動量分量。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。
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