text: 熱核在數學中是指熱方程的基本解。其也是拉普拉斯運算元譜分析中的重要工具之一。對於固定邊界的區域，當邊界溫度給定、並於"t" = 0時在其中某一點放置一單位熱能時，熱核表示此後區域內溫度的變化過程。最常見的熱核為"d"維歐幾里得空間R"d"上的熱核。該熱核為隨時間變化的高斯函式，其表示式為formula_1該熱核是熱方程formula_2的解，其中"t" &gt; 0，"x","y" ∈ R"d"，Δ則表示拉普拉斯運算元。方程的初始條件為formula_3其中δ表示狄拉克δ函式。對任一緊支撐的光滑函式φ，有formula_4對於R"d"上的一般區域，熱核並沒有顯式的表示式。當區域為圓盤或方形時，熱核則分別為貝塞爾函式與雅可比Θ函式。可以證明，對任意黎曼流形，當邊界條件充分正則時，熱核存在且在"t"&gt;0時光滑。
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metadata: 熱核
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