text: 一階偏微分方程是隻和未知數的一階導數有關的偏微分方程，其型式如下formula_1以下的應用會用到一階偏微分方程：建構雙曲型偏微分方程的特徵曲面、變分法、一些幾何問題，以及一些解有用到特徵線法的氣體動力學簡單模型。若可以找到一階偏微分方程的解族，可以透過建立解族的包絡線來找到其他的解。通解及全積分.一階偏微分方程的通解是指其中包括待定常數的解。若一階偏微分方程中的待定常數和自變數一樣多，此解則稱為全積分。以下有n個引數的解族formula_2若滿足formula_3的條件，即為全積分。波方程的特徵曲面.波方程本身是二階偏微分方程，而其特徵曲面為滿足以下方程的等值曲面formula_4若令formula_5，對一般性的影響不大，此時"u"滿足formula_6用方量的表示方式，令formula_7解族的特徵曲面可以表示為formula_8其中formula_9若"x"和"x"0不變，此解的包絡線可以由找到半徑1/"c"圓球上的點，且"u"值為定值的點來求得。若formula_10平行formula_11，此條件會成立。因此，包絡線為formula_12這個解對應一個半徑會以速度"c"膨脹或是收縮的圓球。這也是在時空下的光錐。此方程的初值問題會包括給定"t"=0 時，"u"=0 的等值曲面"S"。這可以由找到所有中心在"S"上，半徑以速度"c"膨脹或是收縮的圓球包絡面來求得。包絡面可以由下式求得formula_13若formula_14和"S"垂直，上式就會成立，因此包絡線對應和"S"垂直，速度為"c"的運動，這也就是Huygens波前建立法："S"上的每一點在"t"=0時發射一個球狀波，較晚時間"t"的波前就是這些球狀波的包絡線。"S"的法向量即為光線。
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metadata: 一階偏微分方程
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