text: 在隨機過程理論中的濾波問題找到解答，在的研究及的研究中也有提到，Zakai建立了濾波器在條件機率未歸一情況下的簡化動態模型，稱為。不過一般情形下的解是無限維的。目前已針對一些近似以及一些特定條件有深入的研究。例如在高斯隨機變數的假設下，最佳解是線性濾波器，也稱為維納濾波及卡爾曼濾波。更一般的情形下，其解為無限維度，為了在有限記憶體的電腦中計算，需要進行有限維度的近似，有限維的近似型比較會以啟發為基礎，例如或是假定密度濾波器，也有更方法論導向的作法，例如Projection Filters，其中有些子系列恰好和假定密度濾波器相同。一般來說，若可以適用分離原理，這些濾波器也可以成為最優控制問題解的一部份。例如在LQG控制最佳控制問題中，其估測部份的解就是卡爾曼濾波。數學表示.考慮機率空間 (Ω, Σ, P)，並且假設在"n"維度歐幾里得空間 R"n"的系統，其在時間"t"的狀態"Y""t"為隨機變數 "Y""t" : Ω → R"n"，可以由以下形式伊藤清隨機微分方程的解來求得formula_1其中"B"是標準"p"維布朗運動，"b" : [0, +∞) × R"n" → R"n"為漂移場由下式決定formula_2配合隨機微分方程的伊藤表示法，令formula_3因此可以得到有關觀測"Z""t"的隨機積分表示式：formula_4其中"W"表示標準"r"維的布朗運動，和"B"和初始條件"Y"0無關，"c" : [0, +∞) × R"n" → R"n"，且 "γ" : [0, +∞) × R"n" → R"n"×"r"可以在所有"t"及"x"，以及特定常數"C"的情形下，使下式成立：formula_5濾波問題如下：給定在0 ≤ "s" ≤ "t"時間內的觀測量"Z""s" for 0 ≤ "s" ≤ "t"，依上述觀測值，針對系統真實狀態"Y""t"的最佳估測"Ŷ""t"是什麼？因為「依上述觀測量為基礎」，表示"Ŷ""t"是根據"Z""s"觀測量中Σ-代數下的可測函式。令"K" = "K"("Z", "t") 是所有數值為R"n"，平方可積分，而且"G""t"可量測隨機函式"Y"的集合：formula_6因為要求是「最佳估測」，表示"Ŷ""t"會讓"Y""t"和"K"集合內所有候選估測值之間的均方差有最小值：formula_7基本結論：正交投影.候選估測值的空間"K"("Z", "t")是希爾伯特空間，根據希爾伯特空間的理論，可以推得最小值問題的解"Ŷ""t"可以表示為下式formula_8其中"P""K"("Z","t")表示將"L"2(Ω, Σ, P; R"n")對映到線性子空間 "K"("Z", "t") = "L"2(Ω, "G""t", P; R"n")的正交投影。而且，有關其條件期望，可知道若"F"是Σ中的次"σ"代數，則正交投影formula_9也就是條件期望運運算元E[·|"F"]，也就是說formula_10因此formula_11這個基本結果是濾波理論中，廣義Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基礎。
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