text: Witsenhausen反例的結論，一般會很自然猜想其中的重要特性可以推廣到分散系統，而Witsenhausen反例即為上述猜想的反例。Witsenhausen建構了二階段的LQG系統，其中二個控制器的決策都是根據分散性資訊所獨立決策的，並且證明在此係統中，有比所有線性控制律更好的非線性控制律。現今還無法找到最佳的控制律。反例的說明.此一反例的說明如下：二個控制器試圖要在恰好二個時間間隔內將狀態控制到接近零的程度。第一個控制器觀察最初狀態formula_1，成本函式中有關於第一個控制器輸入formula_2的成本，也有第二個控制器狀態formula_3的成本。第二個控制器的輸入formula_4沒有成本，不過是以第一個控制器狀態formula_5，有包括雜訊的觀測值formula_6為基礎。第二個控制器不能和第一個控制器通訊，也無法觀察到原始狀態formula_1或是第一個控制器的輸入formula_2。系統動態方程如下：formula_9formula_10第二個控制器的估測方程為formula_11目標是讓期望的成本函式最小化formula_12其中的期望值是在考慮初始狀態formula_1的隨機以及估測雜訊formula_14下所得的，兩者都是獨立分佈的亂數。估測雜訊formula_14假設是正態分佈，而初始狀態的分佈則隨問題的版本不同而不同。問題是要找到控制函式formula_16至少讓目標函式和其他控制函式下的結果一樣的好。Witsenhausen證明最佳函式formula_17和formula_18不會是線性函式。Witsenhausen所得的結果.Witsenhausen所得的結果如下：問題的重要性.此反例是在控制理論及資訊理論的交集。因為此問題的難度，找最佳控制律的問題也受到理論電腦科學社群的關注。此問題的重要性在2008年在墨西哥Cancun舉行的47屆IEEE決策及控制研討會可以看出，其中有一整個會議就是瞭解此一反例，而當時距Witsenhausen最早的反例提出已有40年之久。此問題在分散式控制的概念上很重要，證明瞭分散式控制器為了要讓成本函式最低，彼此通訊的重要性。因此分散式系統的控制行動有二個角色：控制以及通訊。問題的難度.問題的難度是因為第二個控制器的資訊是依照第一個控制器的決策所決定。考慮的變體版本也證明瞭問題的難度也是因為其效能指標的結構，以及不同決策變數的耦合。也已經證明Witsenhausen的反例，若在連線二個控制器之間外部通道的傳輸時延，比問題中的傳播延遲要短時，問題會較簡單。不過此一結果會要求通道是完美無雜訊，而且是即時的，因此限制了實用的程度。在實務上，外部通道總是不完美的，因此無法假設在有外部通道時，分散式控制問題會比較簡單。電腦科學找到了這個分散式問題困難的原因：赫里斯託斯·帕帕季米特里烏及John Tsitsiklis證明此一反例是NP完全。試圖求解.有許多方式試圖用數值方式求解。若限制問題的引數，其中用資訊理論來瞭解此反例中的通訊。此反例的最佳解仍然是還沒有答案的開放問題。
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