text: 在數學中，低維拓撲是拓撲學中研究二、三、四維流形或更廣義的拓撲空間的一個分支。有代表性的研究主題包括三維流形、、扭結和辮群等的結構理論。低維拓撲是幾何拓撲學的一部分。歷史.自1960年起，一系列的論文逐漸引起了數學界對低維拓撲的關注。1961年，斯梅爾發現了瓊斯多項式，將紐結理論引向新的研究方向，並且瓊斯多項式中含藏著低維拓撲和數學物理的聯絡。二維拓撲空間.曲面是一個二維的拓撲流形。我們最熟悉的例子是歐幾里得空間中三維實心體的邊界，例如三維球體的邊界。除此之外，也有一些曲面不能被嵌入三維歐式空間中，例如克萊因瓶。閉曲面的分類."閉曲面的分類理論"陳述如下：任意連通的閉曲面屬於以下三種類別之一前兩個類別的曲面是可定向的，若把球面當成是0個環面的連通和，那麼第一個類別可歸入第二個類別。第二個類別中，數字"g"被叫做曲面的虧格。曲面的虧格和尤拉示性數有一定聯絡：對於"g"個環面的連通和，它的尤拉示性數為2 − 2"g".三維拓撲空間.定義.如果一個拓撲空間formula_3滿足以下條件，那麼formula_3是一個三維拓撲流形三維流形理論.在三維情況，拓撲流形、分段線性流形、光滑流形三個範疇都等價，因此很少會刻意區分三維流形是屬於哪一類。三維流形中的現象和其他維度的現象有著巨大的差別，因此有許多研究方法專門適用於三維流形，而不能被推廣至更高的維度。三維流形的特殊性，導致了三維流形和許多領域有著密切的聯絡，例如：紐結理論、幾何群論、雙曲幾何、數論、拓撲量子場論、規範場論、、偏微分方程。三維流形理論被劃分為低維拓撲或幾何拓撲學的一部分。
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