text: 在數學物理學中，格拉斯曼數是一種用於狄拉克場路徑積分表示的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼命名的。性質.各格拉斯曼變數formula_1均與代數的實數元無關，它們之間互成反交換關係，但與一般數formula_2間則為交換關係：formula_3。需要注意的是，此算符的平方為零：由於formula_4，所以formula_5。為了能讓費米子也有路徑積分，格拉斯曼數的積分需要有以下特性：formula_6formula_7。因此格拉斯曼量的積分有以下的規定：formula_8formula_9。所以結論為任何格拉斯曼數的微分及積分都是相同的。在量子場論的路徑積分表述中，在描述費米子反交換場時，需要用到以下含格拉斯曼量的高斯積分：formula_10。其中formula_11為formula_12矩陣。由格拉斯曼數集合所生成的代數叫格拉斯曼代數。由formula_13個線性獨立的格拉斯曼數生成的代數，其維度為formula_14。格拉斯曼代數是超交換代數的原型。超交換代數還可以分成偶變數與奇變數，因此可以滿足分層的交換律。外代數.格拉斯曼代數是生成元所張成的向量空間的外代數。外代數的定義與基底的選擇無關。矩陣表示.格拉斯曼數都能以矩陣形式表示。例如，已知一格拉斯曼代數，是由兩個格拉斯曼數formula_15及formula_16所生成。這些格拉斯曼數可用4×4矩陣表示：formula_17。一般來說，由n個生成元生成的格拉斯曼代數，可用formula_18的正方形矩陣表示。在物理上，這些矩陣可被視為升算符，作用物件為佔位數基底中n個費米子的希爾伯特空間。由於每個費米子的佔位數皆為0或1，因此共有formula_14種基底態。在數學上，這些矩陣可被視為線性算符，對應與格拉斯曼代數自身的左外乘法。應用.在量子場論中，格拉斯曼數為反交換算符的“經典類比”。它們用於定義費米子場的路徑積分，因此需要為格拉斯曼數的積分下定義，這種積分又叫別列津積分。格拉斯曼數在為超流形下定義時有重要用途，此時它們被用作“反交換座標”。
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