text: 可羅薩裡過剩數是指一正整數"n"，存在一正數ε，使得對於所有正整數m，下式恆成立：formula_1其中σ為除數函式，是所有正因數的和。頭幾個超過剩數為：2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040... 所有的可羅薩裡過剩數都是超過剩數，但有些整數是超過剩數，而不是可羅薩裡過剩數。歷史.可羅薩裡過剩數最早是由斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發現，他在1915年提出的相關高合成數的論文中原來有包括有可羅薩裡過剩數的相關研究。不過因為期刊發行單位倫敦數學學會的財務問題，拉馬努金為了減少論文的篇幅，願意刪除論文中有關可羅薩裡過剩數的內容。拉馬努金的研究和黎曼猜想有關．配合他提出的有關可羅薩裡過剩數上下限的假設，可以證明一個稱為羅賓不等式的不等式在所有的正整數"n"時都成立。拉馬努金發現的可羅薩裡過剩數比及保羅·艾狄胥所發現的類似整數要嚴格一些些。性質.可羅薩裡過剩數是由有許多因數的整陣列成的數列，以除數函式和本身之間的闗係來判斷是否有很多因數。一正整數"n"的除數函式是所有"n"的正因數的和。保羅·巴赫曼證明σ("n")的平均值大致接近π²"n" / 6。提出的格朗沃爾定理證明σ("n")最大值的數量值略大於上述的公式，而且存在一個遞增數列"n"使得整數σ("n") 大致和"e"γ"n"log(log("n"))大小相當，其中γ為尤拉-馬歇羅尼常數。可羅薩裡過剩數需要在針對某一特定ε &gt; 0的條件下，下列函式在"n"為可羅薩裡過剩數時有最大值：formula_2保羅·巴赫曼及古倫沃爾證明瞭針對每個小於0的ε &gt; 0，此函式會有一最大值，而且當ε越接近0，最大值的數值會越大。因此有無窮多個Colossally過剩數，不過分佈的非常稀疏，在小於1018的範圍內只有22個。針對每一個ε值，上述的函式均存在一個全域極大值。但各ε值下函式的全域極大值可能有多個點，不一定只有一個點。阿勞哥魯及保羅·艾狄胥研究在一定特定值的ε值下，會有幾個不同的"n"使上述函式均為全域最大值，針對大多數的ε值，只有一個"n"使函式有全域最大值。不過艾狄胥和讓-路易·尼古拉證明有一些離散的ε值形成的集合，在該ε值下函式會有2或4個不同的"n"值，都會使函式有相同的全域最大值。Alaoglu及保羅·艾狄胥合作在1944年發表的論文中試圖證明二個連續可羅薩裡過剩數之間的比值恆為質數，但沒有成功。後來將上述的敘述變成一個猜想，而且證明此猜想會依循超越數論中中的一個特例，也就是對於二相異的質數"p","q"及一實數"t"，只有在"t"為正整數時才能同時使"p""t"及"q""t"均為有理數。根據中有關三個質數的類似結果。阿勞哥魯及保羅·艾狄胥的猜想尚未被證實或推翻。若其猜想成立，表示存在一個由非相異質陣列成的數列"p"1, "p"2, "p"3,…，使得第"n"個可羅薩裡過剩數可以用下式表示：formula_3假設上述猜想成立，此質數數列的前幾項為2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 ，而且所有的ε值下，函式只會有1或2的"n"值使函式有相同的全域最大值，沒有任何一個ε值會對應4個使函式有相同全域最大值的"n"值。和黎曼猜想的關係.1980年代蓋.羅賓證明黎曼猜想等於以下的不等式對於所有大於5040的正整數都成立：formula_4當"n" = 5040時上述等式不成立，但羅賓證明若黎曼猜想成立時，上述不等式只有在"n"=5040時會不成立，其餘條件都會成立，上述不等式稱為羅賓不等式。若除了5040外，仍有其他正整數使羅賓不等式不成立，該正整數一定是可羅薩裡過剩數，因此黎曼猜想也等於上述不等式對於所有大於5040的可羅薩裡過剩數都成立。
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