text: 格蘭迪級數，即formula_1，是由義大利數學家在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·尤拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作：formula_2它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的尤拉和和切薩羅和均為formula_3。格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯絡。尤拉將這兩個級數當作1 − 2"n" + 3"n" − 4"n" + …的特例，這個級數既直接擴充套件了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函式和黎曼ζ函式。簡介.針對以下的格蘭迪級數1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …一種求和方式是求它的裂項和：(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。格蘭迪級數為發散幾何級數，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：formula_5 = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此1 − formula_5 = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = formula_5，即2formula_5 = 1，可得到formula_5 = formula_10。依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：上述二個答案都可以精確的證明，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。求和性.穩定性及線性.對於格蘭迪級數formula_12，看似可以用以下的方式處理，得到數值formula_13：不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而formula_14不是收斂級數，因此上述處理都不適用。由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程得出一數值。暫時假設formula_15這樣的寫法有意義——其中的formula_16為常數，那麼以下的計算將說明formula_17：formula_18因此，formula_19。再者，有許多的求和方式可以處理發散級數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。切薩羅和.恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個formula_20，計算前formula_20項的和formula_22的平均，當formula_20趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。以格蘭迪級數而言，而數列 formula_24的各項分別為formula_25,而formula_26因此，格蘭迪級數的切薩羅和為 formula_10。也可以用廣義的切薩羅和formula_28來計算。發散性.這個級數的部分和如下：formula_29由此得出另一個無窮序列：formula_30，根據無窮級數的定義，formula_31但是formula_32的無窮序列無法收斂到某個固定值，所以formula_33發散。因此formula_34這個級數也發散。格蘭迪級數的應用.冪級數.以下的冪級數和格蘭迪級數有關，也是其母函式：formula_35狄拉克梳.格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現：formula_36若"x" = π，其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，尤拉認為其值符合以下的關係式Σ cos "kx" = −1⁄2，不過達朗貝爾不同意此關係式，而拉格朗日認為這可以用類似尤拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。尤拉的宣告推測formula_37針對所有的"x"，此級數都發散，不過對於幾乎所有的"x"，切薩羅和均為0。不過在"x" = 2π"n"時，其級數發散，而且是的傅立葉級數。其一般和、切薩羅和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、費耶核及的極限有關。狄利克雷級數.將格蘭迪級數各項乘以1/"n""z"可以得到以下的狄利克雷級數formula_38上述級數只有在實部大於0的複數"z"才會收斂，若令"z" = 0，即為格蘭迪級數。不同於幾何級數，狄利克雷級數對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麼幫助。即使在右半平面上，上述的formula_39也無法用初等函式來表示，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時，formula_39的極值。另一方面，若使用其他較強的求和法，則上述的formula_39可定義一個在整個複數平面的函式－狄利克雷η函式，而且此函式為解析函式。若"z"的實部&gt; −1，就可以用切薩羅和進行求和，因此η(0) = 1⁄2。狄利克雷η函式和另一個著名的狄利克雷級數及函式有關：formula_42其中ζ為黎曼ζ函式。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1⁄2。參照1 + 1 + 1 + 1 + …。上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函式可表示為η("z")和(1 − 21−"z")相除的結果，二個函式在整個複數平面均為解析函式，而後者的零點是在"z" = 1的簡單零點，因此可得ζ("z")為亞純函式，只在"z" = 1有一個極點。物理學.格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，最典型的是量子化的費米子場，其中同時有正的及負的特徵值，例如手徵口袋模型。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，例如卡西米爾效應。在領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，而其求和方式是正規化的一部份，例如就是其中的一種。
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