text: 摩爾－彭若斯廣義逆，通常標記為formula_1或formula_2，是著名的廣義逆矩陣之一，也是該詞的通常表達的意思。1903年，埃裡克伊姆發現或描述。它常被用於求得或簡化非一致線性方程組的最小范數最小二乘解。矩陣的摩爾－彭若斯廣義逆在實數域和複數域上都是唯一的，並且可以透過奇異值分解求得。定義.定義一.令PS表示到向量空間"S"上的正交投影。對於任意一個m乘n的復矩陣A，設"R"(A)表示A的值域空間。摩爾於1935年證明矩陣A的廣義逆矩陣G必須滿足的條件：formula_3以上兩個條件稱為摩爾條件。滿足摩爾條件的矩陣G稱為矩陣A的摩爾逆矩陣。定義二.彭若斯於1955年提出了定義廣義逆矩陣的另外一組條件：以上四個條件常稱摩爾-彭若斯條件。滿足全部四個條件的矩陣G，就稱為A的摩爾－彭若斯廣義逆矩陣。性質.從摩爾－彭若斯條件出發，彭若斯推匯出了摩爾－彭若斯廣義逆的一些性質：存在性和唯一性.偽逆存在且唯一：對於任何矩陣，恰好有一個矩陣滿足定義的四個性質。滿足該定義的第一個條件的矩陣被稱為廣義逆。如果該矩陣也滿足第二個定義，它就被稱為廣義反身逆陣。廣義逆矩陣總存在，但一般不唯一。唯一性是最後兩個條件的結果。基本性質.這些性質的證明可以在維基教科書中找到。恆等式.下面的恆等式可以用來判定部分涉及偽逆的子表示式的正確性：formula_26同樣的，將 formula_1 替換為 formula_28 會得到：formula_29當用 formula_30 替代 formula_28 時，會得到：formula_32埃爾米特情況.偽逆的計算可以簡化為其在埃爾米特情況下的構造，這可以透過等價關係實現：formula_33formula_34其中 和 是埃爾米特矩陣。乘積.令formula_35，下列等式等價：下方列出了 的充分條件：下方列出了 的必要條件：由最後一個充分條件得出等式：formula_47注意: 等式 一般不成立，例如：formula_48投影.formula_49 和 formula_50 是正交投影運算元，即它們是埃爾米特矩陣。以下性質成立：最後兩條性質隱含了下列等式：如果 formula_61 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣，則對於任意矩陣 formula_62 ，下式成立：formula_63這一條性質可以如此證明：定義矩陣 formula_64, formula_65，當 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣時，透過驗證偽逆的性質可以檢查 確實是 的一個偽逆。從上一條性質可以看出，當 formula_66 是埃爾米特矩陣和冪等矩陣時，對於任意矩陣 formula_67formula_68當 是一個正交投影矩陣，則它的偽逆就是它自身，即 formula_69。幾何結構.如果我們把矩陣看作是一個在數域 formula_70 上的線性對映 ， 那麼 formula_71 可以被分解如下。首先定義符號： 表示直和， 表示正交補， 表示對映的核， formula_72 表示對映的像。注意 formula_73 和 formula_74。 限制條件 formula_75 則是一個同構。這意味著 在 上時這個同構的逆，在 formula_76 上則是零。換而言之，對於給定的 要找到 ，首先將 正交投影在 的值域中，找到點 ，然後構建 ，即就是在 中，會被 投影到 的點。這是 的一個平行於 的核的仿射子空間。這個子空間中長度最小的元素，就是我們尋找的 的解。它可以透過從 中選擇任意元素，並將其投影在 的核的正交補空間而得到。以上描述與線性系統的最小范數解密切相關。子空間.formula_77極限.偽逆可以由極限定義：formula_78。當 formula_79 或 formula_80不存在時，這些極限仍然存在。:263連續性.與一般的矩陣求逆不同，求偽逆的過程並不連續：如果序列 收斂到矩陣 ，則 不一定收斂於 . 然而，如果所有的矩陣 與 有相同的秩，則 將收斂於 .導數關係.實值偽逆矩陣的導數，該矩陣在某點處具有恆定的秩 可以用原矩陣的導數來計算：formula_81例子.對於可逆矩陣，其廣義逆為其一般的逆矩陣，所以以下僅舉一些不可逆矩陣的例子。
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metadata: 摩爾-彭若斯廣義逆
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