text: 在數學最佳化中，Rosenbrock函式是一個用來測試最佳化演演算法效能的非凸函式，由Howard Harry Rosenbrock在1960年提出。也稱為Rosenbrock山谷或Rosenbrock香蕉函式，也簡稱為香蕉函式。Rosenbrock函式的定義如下：formula_1Rosenbrock函式的每個等高線大致呈拋物線形，其全域最小值也位在拋物線形的山谷中。很容易找到這個山谷，但由於山谷內的值變化不大，要找到全域的最小值相當困難。其全域最小值位於formula_2點，數值為formula_3。有時第二項的係數不同，但不會影響全域最小值的位置。多變數下的擴充套件.多變數的Rosenbrock函式有以下二種形式。一種是formula_4個獨立二維Rosenbrock函式的和：formula_5此形式只在formula_6為偶數時有定義，而且其解較簡單。另一個較複雜的形式為：formula_7可證明當formula_8時，此形式的Rosenbrock函式只有一個最小值，在 formula_10時只有二個最小值，所有變數均為1時有全域最小值，而在formula_11附近有區域性最小值。此結果是將令函式的梯度為0後求得，Rosenbrock函式的梯度仍為一個formula_12的多項式，在formula_6較小時，可以精確的列出多項式，再求出實根的個數，而其根限制在formula_14的範圍內。若formula_6較大時因為相關的係數太多，無法用以上方式進行。隨機函式.有許多方式可以將Rosenbrock函式延伸到隨機函式，以下是一種例子：formula_16其中隨機變數formula_17服從均勻分佈 Unif(0,1)。原則上，此隨機函式的全域最小值仍在(1,1...,1)，不過因為其隨機的特性，任何以梯度下降法為基礎的最佳化演演算法均無法用來求得此隨機函式的最小值。可適用的最佳化演演算法.經若經過適當的坐標系調整，可以在沒有梯度資訊及不建立區域性近似模型的情形下，用最佳化演演算法求得Rosenbrock函式的最小值。以下的例子說明如何用對二維的Rosenbrock函式進行最佳化，啟始點formula_18。在325次函式的運算後可找到最小值的位置，函式的數值為formula_19。
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