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PolyTC111e2017-18V1b par lepennec - Fichier PDF
 PolyTC111e2017 18V1b .pdf
 Nom original: PolyTC111e2017-18V1b.pdfTitre: PremièresPagesAuteur: lepennec
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 Formation 1A – Module TC111e
 Francois.LePennec@imt-atlantique.fr
 Ondes guidées et rayonnées : introduction
 F. Le Pennec
 Supports de cours Introduction à la propagation des ondes
 M. Le Pennec EM dans les lignes et les guides
 Supports de cours Introduction au rayonnement et aux
 M. Ney antennes
 Recueil des énoncés d’exercices
 Exercices effectués en petites classes et hors
 Sujet de l’exercice individuel noté (CC),
 TP Aplac à réaliser hors séances encadrées
 Espace numérique consacré au module
 TC111e (page moodle) :
 https://formations.telecom-bretagne.eu/fad
 Formation Ingénieur Généraliste Telecom-Bretagne
 1A - Module TC111e
 Support du cours « Ondes guidées »
 V0_141117a_FLP
 « Qui serait assez téméraire pour affirmer que nous connaissons et percevons
 toutes les forces, toutes les ondes et tous les moyens de communications ? »
 LICENSE CC-BY-NC-ND-4.0: Attribution-NonCommercial-NoDerivs 4.0 International
 I Ondes unidimensionnelles ........................................................................................ 7
 Exemples d’ondes unidimensionnelles ......................................................... 7
 Analyse en régime harmonique .................................................................... 8
 I.2.1 L’équation d’onde homogène de d’Alembert ............................................. 8
 I.2.2 L’équation d’onde unidimensionnelle en régime harmonique.................... 9
 I.2.3 Doppler................................................................................................... 11
 Stationnarité, répartition et résonance ........................................................ 11
 I.3.1 Onde stationnaire ................................................................................... 11
 I.3.2 Support unidimensionnel borné .............................................................. 13
 I.3.3 Matrice de répartition .............................................................................. 15
 I.3.4 Résonance ............................................................................................. 16
 Dispersion des ondes polychromatiques ..................................................... 18
 II Les lignes de transmission ..................................................................................... 19
 Ondes dans les circuits électriques ............................................................. 19
 Equations des télégraphistes ...................................................................... 20
 II.2.1 Modèle .................................................................................................. 20
 II.2.2 Mise en équation ................................................................................... 21
 II.2.3 Solutions des équations des télégraphistes ........................................... 21
 Ligne de transmission idéale....................................................................... 22
 Impédance ramenée en entrée d’une ligne de transmission chargée.......... 24
 Abaque de Smith ........................................................................................ 26
 II.5.1 Construction .......................................................................................... 26
 II.5.2 Lectures élémentaires sur l’abaque ....................................................... 26
 II.5.3 Lecture du ROS et de l’impédance réduite sur un plan décalé............... 28
 Lignes résonantes ...................................................................................... 29
 III Ondes electromagnétiques dans un milieu LHI ..................................................... 30
 Repères biographiques ............................................................................... 30
 Eléments d’électromagnétisme ................................................................... 31
 III.2.1 Forces et champs ................................................................................. 32
 III.2.2 Equations de Maxwell ........................................................................... 32
 III.2.3 Paramètres constitutifs de la matière .................................................... 33
 III.2.4 Bilan des puissances (théorème de Poynting) ...................................... 35
 III.2.5 Conditions aux interfaces ..................................................................... 35
 Onde électromagnétique plane ................................................................... 36
 Atténuation de l’onde plane......................................................................... 38
 III.4.1 Milieu bon conducteur........................................................................... 39
 Page n° 3/75
 III.4.2 Diélectriques usuels ............................................................................. 40
 IV Ondes électromagnétiques dans les guides ......................................................... 41
 Nomenclature des guides ........................................................................... 41
 Lignes de transmission réelles .................................................................... 42
 IV.2.1 Onde plane - Onde TEM ...................................................................... 42
 IV.2.2 Relations entre paramètres linéiques et propriétés EM des milieux ...... 43
 IV.2.3 Lignes de transmission multi-conducteurs ............................................ 44
 IV.2.4 Lignes de transmission multiphysiques ................................................ 45
 Propagation des ondes EM dans les guides dispersifs ............................... 46
 IV.3.1 Approche intuitive dans le guide métallique rectangulaire creux........... 46
 IV.3.2 Méthode d’étude des guides d’ondes canoniques ................................ 48
 IV.3.3 Application au guide métallique rectangulaire creux ............................. 50
 IV.3.4 Mode fondamental ............................................................................... 56
 IV.3.5 Pertes .................................................................................................. 58
 Compléments sur les modes de propagation .............................................. 59
 IV.4.1 Modes polarisés ................................................................................... 59
 IV.4.2 Modes LP ............................................................................................. 59
 IV.4.3 Modes quasi-TEM ................................................................................ 61
 IV.4.4 Modes de référence ............................................................................. 61
 IV.4.5 Matrice S généralisée .......................................................................... 62
 IV.4.6 Orthogonalité des modes ..................................................................... 63
 IV.4.7 Modélisation de discontinuités en guide ............................................... 63
 IV.4.8 Mode résonant dans une cavité en guide ............................................. 65
 IV.4.9 Guides non canoniques........................................................................ 66
 V Bibliographie .......................................................................................................... 67
 VI Index .................................................................................................................... 67
 VII Table des figures ................................................................................................. 68
 VIII Liste des tableaux ............................................................................................... 70
 IX Annexes ............................................................................................................... 70
 Ecritures mathématiques ............................................................................ 70
 Grandeurs et notations ............................................................................... 71
 Conditions générales à l’interface entre deux milieux.................................. 73
 Champs transversaux en repère cylindrique ............................................... 74
 Abaque de Smith ........................................................................................ 75
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 Les ondes se manifestent partout dans la nature et sous différentes formes,
 transportant l’énergie, mais pas la matière. Les sons, les vibrations du sol, l’électricité,
 la lumière sont autant d’exemples que les sens humains perçoivent directement. Ce
 n’est pas le cas des ultra-sons émis par les chauves-souris, du rayonnement
 nucléaire naturel du granit breton ou de celui non nucléaire et artificiel des téléphones
 portables, ou encore du passage des ondes gravitationnelles en provenance des
 régions lointaines de notre univers...
 Qu’elles soient macroscopiques ou microscopiques, qu’elles concernent l’acoustique,
 l’électrodynamique ou tout autre domaine, les concepts progressivement élaborés
 dans les sciences physiques ont permis d’établir un cadre théorique aux ondes grâce
 auquel les ingénieurs conçoivent et développent les technologies du monde
 L’onde unidimensionnelle est d’abord rappelée dans ce document. Elle possède une
 grande généralité d’application à toutes sortes de domaines et factorise quelques
 concepts et propriétés essentielles (stationnarité, résonance, dispersion...).
 Les équations des lignes de transmission sont présentées dans un deuxième temps.
 Les ondes de tension et courant complètent les concepts des circuits électriques, tout
 en conservant le caractère unidimensionnel favorable aux manipulations algébriques.
 Différentes équations physiques peuvent être ramenées, sous conditions, à des
 équations des lignes. Les problèmes associés peuvent alors bénéficier des outils et
 méthodes également introduits pour dimensionner les solutions pratiques.
 Leurs célérités vertigineuses, leur aptitude à se propager dans le vide et d’autres
 propriétés confèrent aux ondes électromagnétiques une place privilégiée, dans les
 secteurs des télécommunications et de l’énergie notamment. Aussi les équations de
 Maxwell et leurs solutions dans les milieux infinis linéaires, homogènes et isotropes
 sont rappelées. L’onde électromagnétique plane est reliée aux ondes de
 tension/courant dans ce contexte.
 Les guides d’ondes forment les briques de base de nombreux dispositifs. Certains
 peuvent propager des ondes planes, d’autres non. Le concept de « mode guidé » est
 Figure 1 Interférences dans une houle croisée
 Figure 2 Combien d’ondes de
 différentes natures lors d’un orage ?
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 introduit pour expliquer les propriétés particulières que le guidage engendre sur la
 propagation des ondes. Il sera présenté en même temps qu’une méthode
 systématique d’étude des guides canoniques : le traitement guide d’onde. L’exposé
 qui concerne ici les guides électromagnétiques introduit plus largement cette notion
 de modes de propagation guidée (acoustique, mécanique, etc...).
 Tout au long du document, l’identification des grandeurs fondamentales,
 l’interprétation des phénomènes, la vision des avantages et limites des analogies sont
 aussi importantes que la maitrise mathématique de la modélisation. Cette dernière
 reste ici très accessible car les milieux considérés ont des propriétés favorables. Elles
 n’en sont pas moins répandues. Dans d’autres contextes cependant, les grandeurs et
 propriétés conserveront le sens présenté ici, tandis que les manipulations algébriques
 pourront devenir plus compliquées.
 L’élève ingénieur est fortement encouragé à s’approprier pleinement ce sujet des
 ondes qui touche une grande diversité de sciences par des analogies : sciences du
 vivant, de l’écologie, de la finance, etc. Les conséquences pratiques restant à venir
 seront, parions-le, à la mesure de celles spectaculaires dont bénéficie le monde
 Figure 3 Une « onde de grippe » dans les moteurs de recherche
 http://statosphere.fr/website/post/2009/10/08/Sentinelles-prediction-epidemie-de-grippe-google# (vu le 16 mars
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 I ONDES UNIDIMENSIONNELLES
 Exemples d’ondes unidimensionnelles
 L’impulsion brusque donnée à l’extrémité d’une corde (figure 4-a) et qui se propage
 sur toute sa longueur est une illustration évidente de la propagation
 unidimensionnelle. La déformation crée au départ se retrouve décalée
 progressivement selon la vitesse de l’onde sur la corde, son allure pouvant d’ailleurs
 évoluer plus ou moins avec la distance parcourue.
 L’onde unidimensionnelle s’observe aussi dans le cas d’une impulsion donnée à la
 surface de l’eau. Alors que le phénomène évolue dans deux dimensions à l’interface
 air/eau, peu importe alors le rayon choisi issu du point d’impulsion. La propagation
 sera indépendante de celui-ci du fait de l’identité des célérités si le milieu est
 homogène et isotrope. Cela se traduit par la forme circulaire de la vague crée (cf.
 ricochets figure 4-b). Une différence fondamentale avec le cas de la corde est ici
 « l’étalement » de l’onde sur l’eau. Ce phénomène de divergence spatiale est encore
 plus important dans le cas de l’onde sonore émise par un pétard de feu d’artifice,
 puisque la propagation concerne alors les trois dimensions de l’espace. Un rayon
 quelconque issu du point d’explosion pourra servir de support à l’illustration complète
 de cette propagation. Ce sont finalement les symétries centrales au point source des
 configurations 2D et 3D précédentes qui permettent d’étudier ces ondes suivant un
 modèle unidimensionnel.
 Le caractère unidimensionnel facilite la modélisation et l’étude de la propagation des
 ondes de différentes natures. On cherchera à identifier ce caractère pour permettre
 une modélisation générique aussi simple que possible. Compte tenu de leur
 importance, les paramètres de l’onde unidimensionnelle sont le sujet de cette partie.
 Figure 4 Onde unidimensionnelle (a) le long d’une corde - 1D, (b) richochet-2D, (c) acoustique-3D
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 Analyse en régime harmonique
 I.2.1 L’équation d’onde homogène de d’Alembert
 J. De d’Alembert établit la première équation d’onde éponyme vers le milieu du 18ème
 siècle en étudiant les vibrations des cordes. Cette équation relie les perturbations
 temporelles locales de la grandeur physique considérée aux déformations spatiales
 qu’elles engendrent et qui les compensent.
 Dans la région sans perturbateurs (sur une corde en dehors des positions d’impulsion
 et de fixation), la forme générale de l’équation est sans second membre (homogène) :
 est la célérité de l’onde, analogue de la vitesse pour un objet en
 Cette analogie explique l’usage fréquent du mot « vitesse » à la place de « célérité ».
 Afin d’alléger les notations impliquant des dérivées partielles, on a adopté ci-dessus et
 on adoptera pour la suite les conventions d’écriture
 (cf. IX.1, p 70)
 On rappelle la définition de l’opérateur laplacien en repère cartésien ∆=
 Cette expression est spécifique au repère cartésien, on prendra garde à bien utiliser
 l’expression appropriée du laplacien pour d’autres repères.
 représente parfois l’opérateur d’Alembertien défini par
 permet une écriture compacte de l’équation De d’Alembert :
 = ∆−
 Dans le cas de l’onde unidimensionnelle et en considérant un axe de propagation ,
 ainsi qu’un milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI) on a :
 Soient les variables
 = − et
 = + . Le calcul de
 tirant parti de l’équation ci-dessus conduit à
 = 0. Il vient alors
 = !′( ), puis
 = %( ) + & !′( )' . Finalement la solution générale = % ( − ) + ! ( + ) est à
 interpréter comme deux ondes progressives % et ! superposées se propageant avec
 la célérité dans des sens opposés, respectivement direct et inverse (ou rétrograde)
 selon l’axe .
 Le cas d’une onde issue d’une source ponctuelle dans un milieu LHI à 3 dimensions
 est celui d’un problème à symétrie sphérique. La distance radiale étant r, on calcule
 (ru). L’équation de D’Alembert devient ru −
 + (ru) = r∆u. et
 0, conduisant aux solutions :
 = %( − )+ !( + )
 L’évolution suivant le facteur
 est caractéristique de la divergence des ondes
 sphériques, comme celle acoustique liée au bruit d’un pétard qui explose en l’air, ou
 celle électromagnétique émise au-delà d’une certaine distance par une antenne sur un
 pylône de radiotéléphonie cellulaire. (cf. cours « antennes »). Le facteur de divergence
 d’une onde dépend de la forme du front d’onde.
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 I.2.2 L’équation d’onde unidimensionnelle en régime harmonique
 L’analyse de Fourrier (cf. cours « analyse harmonique ») montre que des formes
 d’ondes quelconques peuvent toujours être décomposées à partir de sinusoïdes.
 2(%) = 3
 ( )4 56
 2(%)4 6
 Figure 5 Contenu harmonique d’une forme d’onde quelconque et transformées de Fourrier directe
 et inverse pour le passage temps / fréquence
 Les signaux classiques sont répartis dans différentes portions du spectre disponible
 pour transporter l’information simultanément sur un même support. Le tableau suivant
 illustre les appellations utilisées dans ce contexte par la société savante américaine
 IEEE comparativement à celle de l’Union Internationale des Télécommunications
 (UIT) pour les applications Radar [1].
 Tableau 1 Nomenclature des bandes radars
 Considérant un milieu LHI, l’étude individuelle de la propagation de chaque sinusoïde
 simplifie l’étude complète. Les grandeurs tirent alors partie des notations complexes,
 soit pour l’onde harmonique élémentaire :
 = ;4<2( , ) = 2( )4 >6? @
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 Dans ce document, le signe associé au temps dans l’exponentielle sera toujours positif.
 Ce choix qui réduit les risques d’erreurs algébriques est très courant mais pas universel.
 ;4 est la partie réelle du nombre complexe en argument. L’onde 2 |2|4 6CD est
 caractérisée par son amplitude (ou module) |2| et sa phase (ou argument) E qui
 dépendent des coordonnées spatiales uniquement.
 Figure 6 Exemple d’ondes harmoniques
 Cette figure illustre les paramètres fondamentaux des ondes sinusoïdales.
 L’amplitude et la phase de l’onde la plus faible étant ici respectivement 0.75 et FG3
 relativement à l’onde plus forte, cette dernière constituant alors l’onde de référence.
 La distance entre deux états identiques successifs de l’onde est la période H ou la
 longueur d’onde λ selon que l’axe horizontal représente le temps ou la position. On
 rappelle les relations de base :
 ( . 6)
 I 2F%
 I : pulsation (rd/s)
 % : fréquence (Hz)
 H : période (s)
 K : nombre d’onde (rd/m)
 λ : longueur d’onde (m)
 L’équation d’onde unidimensionnelle harmonique en coordonnées cartésiennes
 M2# $4 6? N
 M2# $N
 k 2# $
 Elle a pour solution générale :
 2# , $
 6?( 5 )
 6?( 9 )
 M#OI$ 2# $N
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 2# , $ = S. 4 6#?
 5V $
 + T. 4 6#?
 9V $
 Les constantes complexes S et T vont dépendre des conditions aux limites du
 On note que la pulsation I agit vis-à-vis du temps sur la phase comme le nombre
 d’onde K vis-à-vis de . K est une fréquence angulaire (ou pulsation) spatiale,
 proportionnelle au nombre d’oscillations de l’onde sur une longueur et à un instant
 donnés, comme I l’est sur une durée et à une position données.
 2# , 0$ = S. 4 6#?
 Dans le cas de l‘onde harmonique à symétrie sphérique :
 5V+$
 I.2.3 Doppler
 9V+$
 Considérons une position d’observation mobile sur l’axe
 uniforme telle que = .
 2# , $ = S. 4
 + T. 4
 = S. 4 6
 + T. 4 6
 selon une vitesse
 Ce résultat montre que le déplacement de la position d’observation induit une
 perception modifiée de la fréquence % émise. Elle est réduite de (décalage Doppler)
 pour la composante progressive directe (éloignement de l’observateur) et augmentée
 de la même quantité pour la composante progressive rétrograde (rapprochement).
 L’étalement ou la bande de fréquence Doppler est la différence entre les décalages
 Doppler maximum et minimum, soit ici .
 Les changements apparents et l’étalement de fréquence sont une caractéristique très
 générale des ondes lorsque des déplacements (de l’émetteur ou du récepteur, des
 obstacles qui impactent la propagation des ondes...) interviennent dans l’étude. Ce ne
 sera pas le cas dans les supports de propagation envisagés dans la suite de ce
 document. Cependant cet effet peut jouer un rôle majeur dans certaines configurations
 de transmission (canal Hertzien, acoustique sous-marine, etc.).
 Stationnarité, répartition et résonance
 I.3.1 Onde stationnaire
 La solution générale de l’équation harmonique présentée dans l’équation ( . 9) est
 illustrée ci-dessous pour différentes valeurs de suivant un incrément constant ∆ , et
 selon 4 scénarios différents des constantes S et T.
 ;4M2# , $N
 ;4M2# , + ∆ $N
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 Figure 7 Quelques cas particuliers d’ondes stationnaires
 Les différentes illustrations montrent qu’en fonction du temps, les variations de l’onde
 2# , $ sont délimitées par une enveloppe # $ périodique selon . 2# , $ est l’onde
 stationnaire qui semble « vibrer » sur place (2$ au cours du temps, entre les limites
 # $ et − # $.
 Le contraste plus ou moins fort entre ses maximums (ventres) et minimums (nœuds)
 dépend des amplitudes relatives des ondes directe et inverse. Leurs positions
 correspondent respectivement aux interférences constructives et destructives des
 composantes directes et inverses de 2# , $. Ce contraste est caractérisé par le
 rapport d’onde stationnaire (ROS, Standing Wave Ratio SWR) :
 `abM # $N
 ;^_ =
 ( . 13)
 `cdM # $N
 On pourra par exemple tester cette animation flash très explicite : https://www.acgrenoble.fr/disciplines/spc/genevieve_tulloue/file/gtulloue/Ondes/ondes_stationnaires/stationnaires.html (vue le 29
 août 17)
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 Les cas (d) et (a) de la figure 6 illustrent les limites de variation du ;^_ ∈ M1, ∞N. La
 borne minimale 1 en (d) correspond à une onde 2# , $ purement progressive. La borne
 ∞ apparait en (a) quand les deux ondes de sens opposés ont la même intensité. On
 remarque que le ;^_ ne caractérise pas entièrement 2# , $ puisque les cas (b) et (c)
 sont décalés selon mais partagent la même valeur ;^_ = 3. Le ;^_ n’exprime aucune
 propriété de phase de l’onde stationnaire.
 L’appellation « taux d’onde stationnaire » (TOS) est parfois utilisée à la place de
 « rapport d’onde stationnaire », mais elle est déconseillée car le ROS n’étant pas défini
 par un taux, cette appellation peut prêter à confusion.
 Considérons les ondes réduites directe a et inverse g qui composent 2# , $ :
 2# , $ = a. 4 56V + g4 96V
 Où on a posé a = |S|. 4 6Ch 4 6? et g = |T|. 4 6Ci 4 6? .
 L’expression de l’enveloppe
 # $ de 2# , $ est donnée par :
 # $ = |2# , $| = j a. e5lmn + be9lmn j = |a| p 1 + e lmn p
 Sa période spatiale q est déduite de # + q $ = # $, soit :
 ( . 16)
 La période spatiale de l’enveloppe de l’onde stationnaire est donc la moitié de celle
 des ondes progressives directe et inverse de même longueur d’onde qui la
 I.3.2 Support unidimensionnel borné
 Nous supposons ici que le support de propagation unidimensionnel est terminé de
 façon passive (sans nouvelle source d’énergie sur cette terminaison) en = q. L’onde
 inverse g induite est reliée à a par le coefficient de réflexion complexe r = t qui
 # $ = |2# , $| = j a. e5lmn + ρae5lm#v9v5n$ j = |a|j 1 + ρe
 caractérise entièrement la terminaison. L’enveloppe de l’onde stationnaire devient :
 lm#n5v$
 Les valeurs extrêmes de
 sont `abM # $N = 1 + |ρ| et `cdM
 Considérant . 11, il en résulte les expressions reliant le ;^_ et ρ :
 ;^_ − 1
 ;^_ + 1
 # $N = 1 − |ρ|.
 Plus le coefficient de réflexion est important, plus le ROS est élevé. Aux limites, les
 valeurs r = 0 (absence de réflexion) et |r| = 1 (réflexion totale) correspondent
 respectivement à un ROS unité et à un ROS infini.
 L’illustration ci-dessous est un exemple de variation du ;^_ en fonction de la fréquence
 relevé sur une ligne de transmission qui sert à alimenter un filtre de fréquence en
 technologie microruban (photo en médaillon). Les parties hachurées traduisent les
 zones d’exclusion souhaitées (suivant un cahier des charges donné) pour la courbe du
 ;^_. Les fréquences centrales sont celles où le faible niveau de ;^_ correspond à une
 faible réflexion et par suite à une transmission des ondes à ces fréquences (signal utile),
 tandis qu’elles sont coupées sur les fréquences inférieures et supérieures (signaux
 parasites, fonction de filtrage passe-bande). La nécessité d’interpréter ce type de
 courbe est très courante dans les problématiques de transmission des ondes,
 radiofréquences notamment.
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 Figure 8 Exemple de variation fréquentielle du ROS à l’entrée d’un dispositif (filtre planaire)
 L’échelle des décibels (10 fois le logarithme d’un rapport de puissance) est courante
 dans ce contexte. Elle tire parti des propriétés qui relient la puissance des ondes
 réduites à leur amplitude. Soit wx la puissance de l’onde réduite a. Très généralement
 les équations physiques (cf.IV.4.4 pour un exemple) permettent de poser wx = |a| , ce
 ryz = 10. {|! } (|x| )
 ryz = 20. {|! } #|r|$
 ;q = −ryz
 Attention ici à la présence du facteur 20 devant le {|! résultant de la relation entre r
 et le rapport de puissance. La valeur obtenue pour ryz étant négative du fait de la
 terminaison passive (|b| ≤ |a| ⇒|r| ≤ 1), le paramètre Return Loss (RL) est parfois
 utilisé pour simplifier l’écriture en évitant le signe négatif. Son unité est toujours le dB :
 Les échelles ci-dessous facilitent la conversion graphique rapide entre les grandeurs
 qui caractérisent la stationnarité.
 Figure 9 Echelles pour la conversion entre indicateurs du niveau de stationnarité
 Les légendes à gauche de cette échelle sont :
 SWR : Standing Wave Ratio (idem ROS)
 dBS : = 20. {|! } #_•;$
 RTN. LOSS[dB] : Return Loss ;q = −ryz
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 RFL. COEFF. P : coefficient de réflexion en puissance = |r|
 RFL. COEFF, E or I : amplitude du coefficient de réflexion de l’onde = |r|
 La lecture de cette échelle montre par exemple que lorsque la moitié de la puissance
 est réfléchie, |r| ‚ 0.7, ;q ‚ 3 dB et ;^_ ‚ 6.
 I.3.3 Matrice de répartition
 On considère la propagation d’une onde unidimensionnelle le long de supports
 homogènes par segments. A chaque transition brutale entre ces derniers, une onde
 incidente quelconque est la source d’une onde réfléchie et d’une onde transmise qui
 lui sont reliées proportionnellement en amplitude et en phase. Les nombres
 complexes qui caractérisent entièrement cette transition sont r et , respectivement
 les coefficients de réflexion et de transmission.
 Une notation très répandue désigne les ondes réduites incidentes (d’excitation) par a,
 celles sortantes (induites) par g. Un indice permet de distinguer le segment concerné.
 L’illustration suivante fait l’hypothèse d’une onde incidente qui arrive par le milieu 1.
 Figure 10 Propagation unidimensionnelle suivant deux milieux différents
 Cette notation est généralisée à tous les systèmes linéaires multi-accès, suivant
 Figure 11 Propagation unidimensionnelle dans un système à n accès
 Chaque accès (ou porte, port) présente un coefficient de réflexion et un coefficient de
 transmission le reliant particulièrement à chaque autre accès. Ces coefficients sont
 finalement regroupés dans la matrice de répartition qui relie l’ensemble (le vecteur)
 des ondes incidentes aux (vecteur des) ondes sortantes.
 #_$#a$
 On utilise couramment le terme de matrice S pour cette matrice de répartition, le S
 provient du terme anglais scattering (diffusion, par analogie avec la façon dont une onde
 est transmise dans des directions multiples au sein de certains milieux de propagation)
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 Dans le cas d’un quadripôle (2 accès), on a donc :
 g =„ a +„ a
 g = „ a +„ a
 En l’absence d’onde provenant de l’accès n° 2 (condition a
 0$, „
 r et „
 „...... est le coefficient de réflexion en entrée de l’accès n° i.
 „6... est le coefficient de transmission de l’accès n° i vers l’accès n° j.
 „6...yz 20. {|! } †j„6... j‡
 De façon générale pour un multipôle :
 Les coefficients „...6 sont intrinsèques au multipôle, tandis que les rapports
 de toutes les ondes incidentes a aux accès, pas seulement de a... . La détermination d’un
 coefficient de réflexion ou de transmission doit bien prendre en compte ces
 La première figure ci-dessous illustre les performances d’un dispositif de séparation
 de signaux selon la fréquence (duplexer) à partir de ses paramètres S (3). La seconde
 montre un répartiteur multivoies pour réseau d’antennes (lentille de Rotman) dont le
 nombre d’accès (chaque fil) est particulièrement élevé !
 Figure 12 (a) paramètres de répartition d’un duplexer en guide (3 accès), (b) répartiteur multivoies
 I.3.4 Résonance
 La propagation d’une onde unidimensionnelle sur une portion composée de segments
 homogènes donne lieu à l’apparition d’ondes secondaires transmises et réfléchies au
 niveau des zones de transition (couplage, discontinuité...).
 A l’intérieur d’un segment particulier, les multiples ondes secondaires se superposent
 et forment une onde stationnaire. L’enveloppe qui lui est associée dépend des
 caractéristiques des ondes élémentaires qui la constituent, en amplitude mais aussi
 en phase. Cette enveloppe atteindra son amplitude maximale quand toutes les
 phases individuelles des ondes élémentaires a et g seront identiques.
 La figure ci-dessous illustre le cas d’une configuration symétrique (même transition et
 milieux de part et d’autres du segment central) :
 M. B. Manuilov et K. V. Kobrin, « Waveguide diplexer based on E-plane ridged sections and diaphragms », 2016, p.
 1‐5.
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 Figure 13 Résonance (a) mode fondamental, (b) mode d’ordre 3
 Dans le segment central, l’onde réfléchie élémentaire est g# $ = a4 56V‹ r4 56V#‹5 $ =
 g4 96V , soit g = a4 56 V‹ r . Considérons l’hypothèse simple r purement réel. En
 suivant un raisonnement récursif identique pour toutes les ondes élémentaires sur le
 segment, la condition d’identité des phases ∅#a$ = ∅#g$ conduit à la condition de
 résonance 2Kq 2dF, d étant un entier non nul quelconque. Il vient :
 La figure 13 (a) correspond au cas d 1. L’onde stationnaire illustrée est appelé
 mode résonant fondamental. Ce mode et les modes résonants supérieurs font
 apparaître des figures d’enveloppe qui les distinguent. Ainsi il suffit de compter le
 nombre de périodes d’enveloppe dans (b) pour en déduire l’ordre 3 du mode
 supérieur illustré. Il existe ici finalement une infinité de valeurs discrètes de
 fréquences de résonance %+• d ,
 étant la célérité de l’onde sur le segment
 La « forme d’onde » associée à la résonance était déjà mise en évidence par Chladni
 (1756-1827). Avec un archet de violon dont il ajustait le mouvement, il contrôlait la
 fréquence de vibration d’une plaque mince et large sur laquelle il avait déposé une fine
 couche de sable. Les grains étaient piégés sur les minimums (nœuds) de stationnarité,
 formant des dessins caractéristiques associés à certains mouvements d’archet. On
 obtient la même chose aujourd’hui avec une plaque soumise à des vibrations dont la
 fréquence est contrôlée par un moteur ( ).
 Figure 14 Nœuds d’interférence marqués par des grains de sable sur une plaque vibrante aux
 Des conditions aux limites plus générales, possiblement dissymétriques, peuvent
 conduire à des expressions différentes reliant longueur et fréquences de résonance
 du fait du terme de phase généralement associé à r. De même le choix d’une
 amplitude nulle sur la transition dans la figure 13 constitue un cas particulier de
 terminaison (celui du court-circuit si l’onde est associée à une tension).
 https://youtu.be/wvJAgrUBF4w (vu le 29 aout 2017)
 Page n° 17/75
 Dans tous les cas, c’est l’identité de phase entre toutes les ondes élémentaires en
 tout point du segment de propagation concerné qui caractérise la situation de
 De très nombreux dispositifs fonctionnent à partir d’une utilisation judicieuse du
 phénomène de résonance, en en tirant parti (filtres, instruments de musique, IRM,
 etc...), ou en évitant qu’elle puisse se produire (navires, ponts, bruits des moteurs, etc.)
 Dispersion des ondes polychromatiques
 Considérons l’onde # $ à partir de la superposition des deux ondes harmoniques
 # $ et # $ unidimensionnelles progressives et directes, de même amplitude unité
 mais de fréquences et célérités distinctes repérées par les indices 1 et 2.
 |„#I
 2. |„ Ž
 ?• 9?
 I‘ et
 2. |„ ’I‘ “
 V• 9V
 ?• 5?
 • |„ Ž
 ∆I, il vient :
 •– |„ ’∆I “
 V• 5V
 Avec des ondes de fréquences « très proches », on pose I
 I 'I. Alors :
 2. |„ TMI š
 ›œ |„ TM'I š
 ∆I →
 ( . 26)
 ( . 27)
 L’expression ( . 25) montre que # $ est une onde harmonique de pulsation I qui se
 propage à la célérité C , modulée en amplitude par une onde secondaire de plus
 faible pulsation 'I qui se propage à la célérité ̃ . L’illustration ci-dessous met en
 évidence un tel cas de figure le long de l’axe de propagation, à un instant donné :
 Figure 15 Vitesse de phase et vitesse de groupe
 La vitesse de phase C est celle d’une oscillation élémentaire située à l’intérieur d’un
 « paquet d’ondes » dont l’enveloppe se déplace à la vitesse de groupe ̃ (5).
 Du fait des valeurs possiblement différentes de C et
 ̃ , les paquets vont
 progressivement s’allonger avec la distance parcourue, se recouvrant de plus en plus
 mutuellement. Pour des formes d’ondes modulées typiques des communications,
 l’étalement spatial des paquets s’accompagnera de leur déformation, compliquant la
 tache de reconstitution de l’information à la réception. De plus, le recouvrement entre
 https://couleur-science.eu/?d=2013/10/19/15/00/42-exemples-de-vitesses-supraluminiques (vu le 4/09/17)
 Page n° 18/75
 paquets consécutifs pourra être la source de brouillages. Ce phénomène est appelé
 interférences inter-symboles (IES/ISI).
 Cette déformation provenant spécifiquement des différences entre vitesse de phase
 et vitesse de groupe est le phénomène de dispersion. Sa bonne prise en compte est
 essentielle aux performances dans les systèmes de transmission modernes.
 Une analogie mnémotechnique est celle d’un groupe de coureurs dont chacun porte
 une lettre. Associons chaque coureur à une sinusoïde élémentaire et le groupe à un
 paquet d’ondes. La phrase associée à l’ordre des lettres au départ risque de devenir
 incompréhensible à l’arrivée suivant les vitesses de course propres de chaque coureur
 (vitesse de phase). On constate ci-dessous que le sens peut même être transformé ! Le
 groupe possédant sa propre vitesse moyenne (vitesse de groupe), les lettres des
 coureurs les plus lents pourront aussi se mélanger à celles des coureurs les plus
 rapides du groupe suivant, ce qui est l’analogue du phénomène d’interférences entre
 symboles (IES) dans les communications numériques...
 ...Au départ
 Figure 16 Une analogie « courante » du phénomène de dispersion
 II LES LIGNES DE TRANSMISSION
 II.1 Ondes dans les circuits électriques
 De façon générale, les circuits électriques sont des réseaux dans lesquels les
 composants (générateurs, impédances, diodes, transistors, etc.) sont reliés suivant
 une certaine topologie. Les grandeurs fondamentales sont les tensions aux nœuds
 d’interconnexion et les courants dans les différentes branches du réseau. Leurs
 évolutions répondent aux lois des circuits dont les principales sont des prérequis dans
 La notion de distance spatiale est étrangère aux concepts de base des
 circuits électriques. Les lois des circuits n’y font pas référence et la longueur d’un
 composant n’a de sens que vis-à-vis d’une réalisation particulière de celui-ci.
 La théorie des lignes est une extension de la théorie des circuits pour prendre en
 compte cette dimension spatiale, ainsi que la vitesse finie à laquelle une variation de
 tension/courant se propage en réalité. Pour cela le concept d’onde associé aux
 grandeurs de tension et de courant c va être introduit, ainsi que la notion de ligne de
 transmission (le terme anglais stub est aussi souvent utilisé) comme support de leur
 Page n° 19/75
 propagation. Ces ondes obéissent individuellement aux équations De D’Alembert à
 une dimension rencontrées dans la section précédente. A la position b sur la ligne de
 transmission, elles ont alors pour expression générale :
 #b$ =
 c#b$
 l’axe b.
 . 4 56V
 c 9 . 4 56V
 . 4 96V
 c 5 . 4 96V
 ) exprime la composante directe (resp. inverse) de propagation sur
 La ligne de transmission est donc le lieu d’un régime hybride d’ondes stationnaires
 suivant #b$ et c#b$, ces grandeurs étant reliées par les lois des circuits.
 Figure 17 Ligne de transmission (a) stationnarité relativement à L (b) modèle à base de
 quadripôles représentatif de portions infinitésimales
 Dans les illustrations ci-dessus, la longueur q de la ligne de transmission est à
 comparer avec la longueur d’onde λ. Ce rapport conduit aux ondulations plus ou
 moins nombreuses du régime d’onde stationnaire, lié aux conditions aux limites
 imposées par le générateur d’un côté, la charge •‹ de l’autre.
 Si q ≪ λ/2, les variations d’enveloppe seront très faibles en tout point de la ligne. Les
 différences de tension entre l’entrée et la sortie de la ligne ne seront pas significatives
 dans ces conditions. Dans le cas contraire, le schéma (b) devra traduire les évolutions
 continues de tension et de courant tout le long de la ligne, sous la forme d’une
 cascade de quadripôles élémentaires identiques associés aux longueurs
 infinitésimales 'b.
 La longueur d’onde dans le vide d’un circuit électrique de fréquence 50 Hz est de 6000
 km ! Dans ces conditions, le concept de ligne de transmission est évidemment superflu
 pour calculer les circuits communs dont les pistes métalliques ne mesurent que
 quelques centimètres. Faites le calcul à 1 GHz...
 II.2 Equations des télégraphistes
 II.2.1 Modèle
 Considérons le quadripôle suivant (modèle RLCG) pour modéliser une portion
 infinitésimale 'b de ligne de transmission, prenant en compte un amortissement
 possible (pertes de propagation sur la ligne) :
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 Figure 18 Modèle RLCG pour la ligne de transmission
 ; †ΩG¡‡, q †¢G¡‡, £ ¤ †_G¡‡ et ¥†¦G¡‡ sont respectivement les résistance, inductance,
 conductance et capacité par unité de longueur. Ces quatre paramètres sont des
 caractéristiques fondamentales et intrinsèques de la ligne de transmission.
 II.2.2 Mise en équation
 La somme des tensions sur une boucle fermée du réseau étant nulle (loi des mailles
 ou de Kirchhoff en tension), on a :
 §#b$
 OqI‡'b. ̈#b$
 §#b
 ̈#b$
 †£′
 O¥I‡'b. §#b
 ̈#b
 La somme des courants sur tout nœud d’interconnexion est nulle également (loi des
 nœuds ou de Kirchhoff en courants), cela donne sur le nœud reliant q et ¥ :
 On limite les développements de Taylor de §#b 'b$ et de ̈#b
 §#b$ †; OqI‡'b. ̈#b$ M§#b$
 §#b$'bN 0
 ̈#b$ †£′ O¥I‡'b. M§#b$
 §#b$'bN M ̈#b$
 ̈#b$'bN 0
 'b$ au premier
 En éliminant les termes d’ordre deux qui apparaissent dans la seconde équation, il
 OqI‡. ̈#b$
 O¥I‡. §#b$
 Ces deux équations couplées aux dérivées partielles sont appelées équations des
 télégraphistes. Elles relient les variations spatiales et temporelles de la tension et du
 courant tout le long de la ligne de transmission.
 Les équations des télégraphistes présentent une similitude avec des équations issues
 de divers domaines de la physique, permettant une modélisation basée sur la théorie
 des lignes. C’est le cas par exemple des équations de Maxwell en régime harmonique
 ¬a « ¬OI®¢
 et dans un milieu linéaire homogène et vide de charges ©
 ¬- OI ̄¬a«¢
 cependant que dans ces dernières, les inconnues sont des grandeurs vectorielles.
 II.2.3 Solutions des équations des télégraphistes
 Combinons (
 . 32$
 V#x$
 . 32) et #
 . 30$ pour isoler §#b$ :
 OqI‡†£
 OqI‡#
 . 30$
 OqI‡†£′
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 2 = 3†; + OqI‡†£ ¤ + O¥I‡
 V#x$ − 2 . §#b$ = 0
 De façon similaire, le calcul de
 ( . 33) combiné à ( . 32) conduit à la même
 équation d’onde portant cette fois-ci sur ̈#b$. Nous connaissons déjà les solutions
 stationnaires de ces équations d’onde :
 §#b$ = § 9 4 5 ́ + § 5 4 ́
 ; + OqI
 • =¶ ¤
 £ + O¥I
 2 = · + O ̧
 2 apparaît comme le facteur de propagation complexe. § 9 4 5 ́ et § 5 4 ́ sont les
 composantes progressives respectivement directe et inverse de l’onde stationnaire en
 tension §#b$.
 Compte tenu de (
 ̈#b$ =
 § 9 4 5 ́ + 5†μ96‹?‡ § 5 4 ́
 5†μ96‹?‡
 § 9 5 ́
 §5 ́
 9 5 ́
 = ̈ 4
 + ̈ 4
 L’onde de courant inverse ̈ 5 présente un signe opposé à celui de l’onde de tension
 progressive correspondante § 5 . Comme §#b$, ̈#b$ est une onde stationnaire dont les
 composantes directe et inverse sont reliées aux ondes de tension progressives
 correspondantes par une impédance • . C’est l’impédance caractéristique de la ligne
 de transmission. Les expressions ci-dessus montrent qu’elle est reliée aux grandeurs
 linéiques de la ligne par la relation :
 Par ailleurs, 2 étant complexe dans le cas général, on pose habituellement :
 · (Np/m): coefficient d’affaiblissement (ou constante d’atténuation)
 ̧ (rad/s) : constante de (propagation de la) phase
 II.3 Ligne de transmission idéale
 C’est la ligne de transmission sans pertes. Dans ces conditions ; = £ ¤ = 0⇒ · = 0.
 En comparant alors ( . 36) et ( . 37) avec ( . 28) et ( . 29) , on constate que la constante
 de phase ̧ et le nombre d’onde K sont deux grandeurs identiques dans une ligne de
 transmission. Cela n’est pas vrai pour d’autres supports de propagation (cf. IV).
 Il vient pour l’impédance caractéristique :
 • =¶
 La constante de phase est déduite de (
 ̧ = I1q¥
 La célérité de (
 . 7) :
 . 34) :
 Page n° 22/75
 A partir de (
 1q¥
 . 26) (
 . 27), on constate ici que :
 Cette relation concernant le caractère constant et identique des vitesses de phase et
 de groupe traduit la conservation de la forme de l’onde tout au long de sa
 propagation. La ligne de transmission idéale est non dispersive (cf I.4).
 L’impédance caractéristique Z1⁄4 et le déphasage θ βl, { étant la longueur de la ligne,
 sont finalement les deux paramètres essentiels des lignes idéales. Les schémas
 électriques les indiquent en précisant la fréquence à laquelle le déphasage est
 évalué. C’est le cas dans le schéma de gauche ci-dessous où les paramètres •, et
 ¦ pour chaque tronçon élémentaire de ligne correspondent respectivement à
 180$ , puis finalement la
 l’impédance caractéristique, le déphasage en degré (
 fréquence (1.41 GHz ici) pour laquelle le déphasage est reporté.
 Figure 19 Différentes représentations de la ligne de transmission dans des schémas électriques
 On remarque des déphasages de 90° et 180° suivant les lignes du schéma de gauche.
 Les lignes correspondantes sont nommées respectivement quart d’onde et demi-onde.
 Certaines lignes du schéma de gauche également sont représentées par des dipôles,
 mais ce sont bien des quadripôles. Ces représentations fréquentes dans les simulateurs
 (CAO) allègent les schémas, sous-entendu que chaque accès est référencé à la masse.
 Figure 20 Ligne de transmission représentée par un dipôle dans le simulateur ADS
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 II.4 Impédance ramenée en entrée d’une ligne de transmission
 Figure 21 Régime stationnaire et impédance le long d’une ligne de transmission chargée
 En tout point de la ligne, l’impédance •#b$ est établie par le rapport entre les ondes
 stationnaires en tension et en courant :
 En décomposant suivant les composantes progressives :
 •#b$
 § 9 4 56Á
 1 9 56Á
 #§ 4
 § 5 4 6Á
 § 5 4 6Á $
 Les ondes directe et indirecte sont liées par la condition imposée par •
 Ã#‹$
 Ã Z Å YˆÆÇ 9Ã Y Å ˆÆÇ
 Ä#‹$
 Ã Z Å YˆÆÇ 5Ã Y Å ˆÆÇ
 9 Z Å ˆÆÇ
 5 Z Å ˆÆÇ
 Le rapport entre les ondes indirecte et directe en L est le coefficient de réflexion r sur
 § 5 4 6Á‹
 § 5 6Á‹
 § 9 4 56Á‹ § 9
 D’une part ( . 46) devient :
 D’autre part (
 . 45) évolue :
 6Á# 5‹$
 De façon générale, le rapport d’une impédance particulière relativement à une
 impédance de référence est appelé impédance réduite. Â est donc l’impédance
 réduite de la charge • Â , l’impédance caractéristique • de la ligne étant prise comme
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 référence. En adoptant une notation similaire d’impédance réduite #b$ le long de la
 ligne et tirant parti de ( . 49) on déduit :
 1 6Á# 5‹$
 ( . 50)
 En entrée de la ligne et après simplification, on obtient l’expression de
 O. ad# ̧q$
 1 O. Â ad# ̧q$
 Cette relation constitue la formule de l’impédance ramenée (réduite, ne pas oublier
 qu’ici les impédances sont normalisées relativement à • ). Elle joue un rôle très
 important dans l’utilisation des lignes de transmission. La tension V et le courant I en
 sortie de générateur ne seront pas modifiés si la ligne de transmission chargée est
 remplacée par l’impédance •4 .
 Figure 22 Impédance équivalente à celle ramenée à l’entrée d’une ligne
 Pour une longueur de ligne L fixée, il existe toujours une fréquence suffisamment basse
 pour que le produit ̧q 2F ‚ 0, idem ad# ̧q$ négligeable devant Â . L’équation
 . 48 montre alors que Å → Â . On retrouve finalement la théorie des circuits
 classique lorsque toutes les longueurs de lignes vérifient la condition q ≪ λ.
 L’équation . 45 montre que la réflexion sur la charge • Â est d’autant plus faible que
 celle-ci est proche de • . La condition r 0 correspond à une transmission parfaite
 entre la ligne et la charge. Elle se produit sur une ligne idéale lorsque •
 • Â . C’est
 la condition d'adaptation (en tension ici, il peut exister d’autres conditions
 d’adaptation suivant le contexte : en puissance, en bruit...). Dans le cas de la ligne
 idéale (sans pertes) et du fait de
 . 37, on remarque que la condition d’adaptation
 ligne/charge ne peut être satisfaite que pour une impédance de charge purement
 Le même raisonnement vaut à l’entrée de la ligne. Dans la figure 22, la condition de
 transfert de puissance maximum entre le générateur et la charge est •} •
 (circuit adapté).
 Par exemple l’impédance d’une antenne de réception hertzienne standard pour la
 télévision en France est •} 75Ω, le câble coaxial de liaison avec la TV à une
 Page n° 25/75
 impédance caractéristique • = 75Ω également, finalement la TV présente une
 impédance d’entrée • Â = 75Ω.
 II.5 Abaque de Smith
 II.5.1 Construction
 L’équation ( . 45) établit la correspondance entre le coefficient de réflexion r
 l’impédance de charge réduite Â . Cette correspondance est traduite graphiquement
 sur l’abaque de Smith qui possède par ailleurs de nombreuses propriétés favorables à
 la conception des circuits intégrant des lignes de transmission.
 r = r+ + Or... =
 − 1 0 Â + Ob
 0 Â + Ob
 Â+1
 On en déduit les relations entre les composantes complexes de r et de
 “r+ −
 • + #r... $ = “
 1+0Â
 . 52)
 • =“ •
 Il s’agit d’équations de cercles #b − b} $ + #É − É} $ = ;} , ;} étant le rayon, b} et É}
 les coordonnées du centre. L’équation ( . 53) engendre des cercles résistifs centrés
 sur l’axe réel dans le plan complexe ρ. De façon analogue, ( . 54) ne fait intervenir
 que la partie imaginaire de Â . Elle génère donc des cercles inductifs ou capacitifs
 selon le signe positif ou négatif de x Â , centrés le long d’un axe imaginaire passant
 par le point (1,0). On trouvera en annexe IX.1 un exemple pratique d’abaque de
 #r+ − 1$ + “r... −
 ← #a$
 Figure 23 Abaque de Smith, (a) en simulation (matlab), (b) en mesure (analyseur de réseau
 En préservant l’orthogonalité entre les lieux 0 Â = „ 4 et b
 constitue une transformation conforme entre r et Â .
 = „ 4, l’abaque de Smith
 II.5.2 Lectures élémentaires sur l’abaque
 Les différentes échelles de l’abaque facilitent le placement d’une charge quelconque
 à partir de son coefficient de réflexion associé ρ ou de son impédance réduite z. La
 figure suivante montre l’utilisation de ces échelles qui permettent de lire ρ =
 0.524 56 }° en correspondance avec z = 0.4 − j0.5, le signe négatif de la partie
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 imaginaire provenant d’une situation dans le demi-plan inférieur de l’abaque. On
 relève également un ROS 3.2. En supposant une impédance de référence standard
 Z} 50Ω, on obtient donc Z
 . Z} #20 O25$Ω, soit l’équivalent d’une résistance
 ; 20Ω en série avec une capacité ¥ telle que 78Ï 25 à la fréquence % d’étude.
 On note que les points d’impédances situées en périphérie de l’abaque correspondent
 à une réflexion totale (|ρ| 1$, tandis que le point central exprime la condition
 d’adaptation (|ρ| 0$. On remarque également les positions de court-circuit CC en
 périphérie à gauche (ρ
 1$ et de circuit ouvert CO (ρ
 1$ à droite.
 Le coefficient de réflexion associé à l’admittance réduite É est r (É
 r# $. É est donc obtenu à partir de par symétrie centrale. Dans l’exemple cidessous on relève graphiquement É 1 O1.2.
 Certaines versions d’abaque intègrent une représentation des cercles de conductances
 (inverses de résistances) et de conductances (inverses de réactances) permettant une
 lecture directe des valeurs d’admittances. En perdant en lisibilité du fait de la quantité
 de cercles affichés, ils gagnent à éviter le placement de points symétriques.
 Figure 24 Lectures de base sur l’abaque de Smith
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 II.5.3 Lecture du ROS et de l’impédance réduite sur un plan décalé
 Considérant une ligne de transmission chargée, l’équation (
 d’impédance #b$ en tout point d’une ligne.
 r#q$4
 6Á# 5∆5‹$
 . 49) détermine la valeur
 On lui associe le coefficient de réflexion r#b$ :
 #b$ 1
 ( . 56)
 r#b$
 r#q$4 6Á# 5‹$
 Considérons un nouveau plan d’observation décalé d’une distance ∆ vers le
 56 7λ
 Seules les phases différentes distinguent r#b ∆$ et r#b$. En conséquence la
 position r#b ∆$ provient d’une rotation de r#b$ autour du centre de l’abaque suivant
 l’angle 2F λ , le signe – exprimant « le sens des aiguilles d’une montre », lié au
 sens du déplacement choisi (ici vers le générateur). Finalement toutes les positions
 possibles de r#b$ sont obtenues par rotation autour du centre de l’abaque. Le sens
 de rotation est horaire si le plan de référence est déplacé vers le générateur,
 antihoraire si le déplacement est vers la charge. Le lieu de toutes les positions
 possibles est le cercle à ROS constant (le ROS est indépendant de la position
 d’observation sur la ligne). Un tour complet est obtenu pour un déplacement de λG2 :
 la périodicité de l’enveloppe stationnaire est identique à celle de l’abaque.
 Deux échelles situées en périphérie d’abaque expriment les changements de plan de
 référence directement en fonction du rapport λ (cf exemple figure 25), l’une ou l’autre
 étant à choisir selon la direction de déplacement et les commodités de lecture.
 Figure 25 ROS et changement de plan de référence sur l’abaque de Smith
 Page n° 28/75
 Sur l’abaque de Smith, la distance entre la position CC et r#b$ est 1+ r#b$. En
 conséquence l’intersection du cercle ROS avec la partie positive de l’axe réel est
 1 |r#b$|. Cela correspond à un maximum de l’enveloppe stationnaire (cf. I.3.2). Sur
 9|Ð|
 cette position, #b$ 0
 , expression identique à celle du ROS ! De façon
 5|Ð|
 similaire, l’intersection avec la partie négative de l’axe réel est 1
 de l’enveloppe stationnaire, avec #b$ 0
 μÑÒ
 |r#b$|, minimum
 De façon générale une lecture du ROS est donc obtenue en traçant le cercle à ROS
 constant passant par r#b$ et centré sur l’abaque, aux points d’intersection avec l’axe
 réel. Le ROS est lu directement à partir de la résistance réduite pour l’intersection
 droite, ou en inversant celle-ci pour l’intersection gauche (≈2.5 sur la figure).
 Les quelques propriétés de l’abaque de Smith qui viennent d’être présentées trouvent
 des applications nombreuses, notamment pour l’adaptation de circuits ou la mesure de
 Figure 26 Ligne coaxiale fendue HP 806B et chariot mobile, support de mesure d’ondes
 stationnaires entre 3 et 12 GHz
 II.6 Lignes résonantes
 Les circuits électriques résonnants fondamentaux sont les circuits RLC série et
 parallèle, avec les comportements classiques ci-dessous concernant leur impédance :
 Figure 27 (a) Ó#Ô$ et (b) coefficient de qualité autour de la pulsation de résonance ÔÕ
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 La pulsation de résonance I} et le coefficient de qualité Ö qui traduit la sélectivité du
 résonateur sont des paramètres fondamentaux. On rappelle que Ö = × pour un
 circuit série ou Ö
 ;¥I} pour le cas parallèle. BP est la bande passante.
 La résistance R dans l’expression du coefficient de qualité exprime la dissipation de
 puissance, uniquement active (réelle) à la résonance.
 Pour une ligne de transmission résonante, une telle dissipation ne peut provenir que
 des pertes dans la ligne. Cela se traduit par une constante de propagation à partie
 réelle non nulle 2 · O ̧.
 Dans la section I.3.4, il a été établi la relation entre la longueur q+ et la première
 longueur d’onde de résonance q+
 ∆I avec ∆I ≪ I .
 2. Considérons I I
 OF ? et sans reprendre ici les calculs détaillés dans [2] qui tirent
 En posant χ ·
 parti de la formule de l’impédance ramenée, on présente les expressions des
 impédances ramenées en entrée de la ligne d’impédance caractéristique • suivant
 différentes hypothèses de charge CC ou CO. La figure 28 illustre les résultats en (a)
 et (d).
 Figure 28 Stubs résonants demi-onde et quart d’onde
 On constate que le régime stationnaire en début des lignes demi-onde
 correspondantes ne sera pas modifiée si sa longueur est divisée par deux (quart
 d’onde) et à condition de remplacer la charge par son inverse : CC (a) ⇒ CO (b) et
 CO (d) ⇒ CC (e). L’impédance d’entrée étant divisée par deux également, les circuits
 quarts d’onde ont le même coefficient de qualité (même sélectivité) que leurs
 homologues demi-onde, la puissance dissipée étant divisée par 2.
 Le schéma d’un résonateur série (c) modélise les variations de l’impédance •Å tandis
 que celui d’un résonateur parallèle (f) convient à ØÅ
 III ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS UN
 MILIEU LHI
 III.1 Repères biographiques
 1678 : Christiaan Huygens (1629-1695) expose une théorie ondulatoire de la
 lumière qui permet d’expliquer la double réfraction que l’on observe dans
 certains minéraux cristallisés d'Islande. La théorie corpusculaire d’Isaac Newton
 qui domine largement à cette époque est mise en échec.
 Page n° 30/75
 1801 : Thomas Young (1773-1829) réalise sa célèbre expérience des
 interférences créées au travers de deux fentes, ce qui démontre la nature
 ondulatoire de la lumière. Il apporte également une contribution majeure aux
 fondements de l’optique physiologique.
 1815 : Augustin Fresnel (1788-1827) pose les bases d’une théorie vibratoire
 de la lumière. Ses travaux sur la polarisation démontreront le caractère
 transverse des vibrations lumineuses. Il est particulièrement renommé pour
 ses recherches sur les lentilles optiques.
 1820 : Hans Christian Ørsted (1777-1851) met en
 évidence la relation électricité / magnétisme. André-Marie Ampère
 (1775-1836) développe les travaux et contribue de façon majeure
 aux fondements de l’électrodynamique.
 1821 : Michael Faraday (1791-1867) réalise le premier prototype de moteur
 électrique. Parmi ses découvertes figure notamment l’induction
 1845 : Gustav Kirchhoff (1824-1887) est encore étudiant quand il
 établit les lois fondamentales des circuits électriques. Ses travaux
 marqueront l’électrodynamique, la physique du rayonnement (il a introduit le
 corps noir) et l'élasticité.
 1864 : James Clerk Maxwell (1831-1879) présente ses équations sur les
 champs électromagnétiques et leurs interactions avec la matière. Sa théorie
 macroscopique unifie magistralement les phénomènes de
 l’électricité, du magnétisme et de la lumière.
 1887 : Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894). Après avoir découvert la
 photoélectricité et réalisé le premier faisceau hertzien dès 1886, il démontre
 expérimentalement que la lumière est une onde électromagnétique.
 1902 : Hendrik Lorentz (1853-1928) obtient le prix Nobel en reconnaissance
 de contributions majeures sur le magnétisme, les forces et le rayonnement
 1905 : Albert Einstein propose une explication de l’effet
 photoélectrique sur laquelle butte la théorie de J.C. Maxwell, en
 associant les concepts de « particules de lumière » et de « quantum
 d’énergie ». Il en sera récompensé par le prix Nobel en 1921.
 Marie-Curie (1867-1934) est physicienne et chimiste. Pour ses recherches
 sur le rayonnement, elle est la première femme à obtenir un prix Nobel.
 Elle en obtiendra finalement deux. Son succès et celui de celles qui la
 suivront interpellent sur l’absence des savantes dans l’histoire de
 III.2 Eléments d’électromagnétisme
 Depuis 1873, les phénomènes de lumière, d’électricité et de magnétisme ont été unifiés
 par Maxwell dans sa théorie des ondes électromagnétiques [3]. Il s’agit d’une théorie
 macroscopique, dans le sens où elle est valable à des échelles suffisamment grandes
 par rapport aux dimensions interatomiques (les forces nucléaires faibles et fortes n’ont
 pas besoin d’être introduites explicitement). Sa portée est apparue considérable du fait
 de ses capacités à expliquer quantité d’observations réelles, autant qu’à prédire
 précisément le résultat d’expériences très diverses. Les contributions de cette théorie à
 l’évolution technologique de nos sociétés sont majeures et participent aujourd’hui
 encore à de nombreuses innovations.
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 III.2.1 Forces et champs
 On rappelle ici que dans un contexte électrostatique, des charges électriques fixes et
 constantes réparties exercent naturellement entre elles des forces attractives ou
 ¬¬-Ù qui
 répulsives, suivant leurs signes opposés ou identiques. Il en résulte une force ¦
 s’exerce sur la charge ... située au point c. 0...6 étant la distance entre les charges c et
 O, 0ÛÚÙ le vecteur distance unitaire orienté de O vers c, la loi de Coulomb traduit ces
 interactions (ci-dessous dans le vide) :
 ¬¬¦Ù
 0ÛÚÙ
 = ¬¬¬-Ù
 4F ̄} 0...6
 Le paramètre ̄} exprime une propriété du vide et sera précisé dans III.2.3. Le champ
 électrique ¬¬¬-Ù introduit par cette relation s’apparente donc à une force en un point par
 Si la charge ... possède un vecteur vitesse ¬¬¬-Ù (contexte électrocinétique), la loi de
 Coulomb doit être complétée en tenant compte de la présence éventuelle du champ
 ¬¬¬-Ù . Il en résulte une combinaison des forces électriques (idem
 d’induction magnétique T
 de Coulomb) et magnétiques, c’est la force de Lorentz :
 ¬¬-Ù = ... <¬¬¬-Ù + ¬¬¬-Ù × T
 ¬¬¬-Ù @
 ( . 59)
 Aucune charge magnétique n’a pu être observée dans la nature jusqu’à présent pour
 ¬¬¬-Ù . A. Einstein a interprété le magnétisme en 1905 dans le cadre de sa théorie
 de la relativité restreinte, comme un aspect relativiste du champ électrique des
 déplacements à vitesses extrêmes des charges, comme celles qui circulent autour des
 noyaux atomiques, dans certaines configurations.
 Les forces électromagnétiques sont beaucoup plus puissantes que celles de gravité qui
 s’exercent entre des objets massifs, mais leur rayon d’action diminue bien plus
 rapidement avec la distance (en
 pour les forces gravitationnelles). Elles
 +‰ˆ
 sont elles-mêmes largement surpassées par les forces d’interactions faibles et fortes qui
 assurent la cohésion des atomes et dont les rayons d’action sont à l’échelle de ces
 derniers. Cependant la présence de champs électromagnétiques externes influence la
 répartition des charges dans la matière. Ces effets microscopiques s’expriment par des
 comportements macroscopiques décrits par les propriétés électromagnétiques qui vont
 être rappelées dans III.2.3. Des champs d’excitation « pas trop forts » entrainent des
 champs locaux induits (moments dipolaires aux échelles moléculaires et atomiques) qui
 leurs sont proportionnels. Des comportements non linéaires pourront cependant
 apparaitre lorsque les champs d’excitation deviendront suffisamment importants, les
 forces de cohésion atomique empêchant un éloignement excessif des charges
 influencées. Les diverses conséquences pratiques des effets non linéaires ne sont pas
 traitées dans ce document.
 III.2.2 Equations de Maxwell
 Nous considérons ici la forme locale des équations de Maxwell dans un milieu LHI et
 en régime harmonique :
 ¬¬à ∇ × = −OIT
 Þ∇ × ¢
 ¬- = OIâ
 ¬- + ãß
 ¬- = r Â
 ∇â
 ¬- = 0
 ¬- : champ électrique (V/m)
 ¬- : champ (d’excitation) magnétique (A/m)
 Page n° 32/75
 ¬- : déplacement électrique (As/m2)
 ¬- : (champ d’)induction magnétique (T ou Vs/m2)
 ã- : densité (surfacique) de courant (A/m2)
 ρ1⁄4ä: densité (volumique) de charges (As/m3)
 La loi de conservation de la charge électrique est obtenue à partir de ∇. #b$et #c$ :
 ∇ã- = −OIr
 III.2.3 Paramètres constitutifs de la matière
 Les différentes grandeurs dans les équations de Maxwell ne sont pas toutes
 indépendantes, certaines étant directement reliées par les propriétés
 électromagnétiques macroscopiques du milieu : la permittivité diélectrique ̄ (F/m), la
 perméabilité magnétique ® (H/m) et la conductivité électrique å (S/m), inverse de la
 résistivité r (Ω.m)
 ¬- = ̄ ¬â
 ¬- = ®¢
 ßÞã = å ¬- = r ¬Ý
 Par commodité algébrique, ̄ et ® sont généralement exprimés avec des parties
 imaginaires négatives et relativement aux propriétés du vide (indice 0 dans les
 notations). Ceci donne les expressions suivantes en régime harmonique :
 ̄ = ̄} ̄+ = ̄ ¤ − O ̄ " = ̄} † ̄+¤ − O ̄+" ‡
 ( . 63)
 ® = ®} ®+ = ® − O® = ®} †®+ − O®+ ‡ #g$
 Une présentation détaillée de ces paramètres peut être retrouvée dans [4].
 ̄} = çè7.
 ¦/¡ et ®} = 4F. 105ê ¢/¡
 L’indice 0 indique la grandeur relative (par rapport au vide). On utilise principalement
 les grandeurs relatives pour décrire les propriétés électriques.
 sont les constantes électriques du vide.
 Fondamentalement, tous les paramètres constitutifs des milieux varient avec les
 conditions (température, fréquence, etc.) dans des proportions plus ou moins notables
 selon ces dernières. Les parties imaginaires ̄ " et ®" expriment la conversion
 d’énergie entre l’onde et le milieu de propagation (par échauffement thermique
 principalement). La conductivité å traduit également un échange d’énergie
 responsable du déplacement des électrons libres lorsqu’ils existent (métaux, plasma).
 Dans les milieux amagnétiques (®+ = 1$ que l’on considère essentiellement dans ce
 document et qui sont les milieux très habituels des supports de propagation,
 l’ensemble des pertes est finalement caractérisé par le facteur de pertes adë :
 ¬- + ã- = OI ̄ ¤ #1 − O adë$ ¬a×¢
 adë =
 I ̄ " + å
 I ̄ ¤
 Tableau 2 Permittivité diélectrique et tangente de pertes pour quelques isolants
 Verre (pyrex)
 tanî (25°C)
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 Un modèle classique de l’évolution de la permittivité diélectrique relative complexe avec
 la fréquence est celui de Debye, indiqué ci-dessous (pour l’ordre 1) :
 ̄+ #I$ = ̄: +
 ̄ï − ̄:
 1 OIð
 Les permittivités statique ̄ï et asymptotique ̄: sont les valeurs limites aux fréquences
 nulle et infinie, ð est le temps de relaxation. Ces paramètres sont extraits des courbes
 d’évolution fréquentielles associées à ̄+ comme celles de l’eau salée suivante dont la
 partie réelle présente une permittivité diélectrique relative statique particulièrement forte,
 proche de 80, une relaxation voisine de 4 GHz et une permittivité relative asymptotique
 Figure 29 Evolutions fréquentielles complexe de ìí pour l’eau salée ( )
 La conductivité å traduit la facilité de déplacement des charges dans les matériaux
 conducteurs. Dans les métaux usuels, å ≫ ̄ ".
 Les métaux usuels se comportent comme des filtres passe-haut à très haute fréquence
 de coupure, de l’ordre de plusieurs dizaines de THz. Dans la gamme de fréquence des
 ondes électromagnétiques non ionisantes, on confond alors la conductivité d’un
 matériau métallique avec sa conductivité statique å„ .
 Le modèle de Drude est classique des variations fréquentielles de la conductivité des
 métaux usuels. On constate la relaxation associée au paramètre ð, correspondant au
 comportement passe-haut indiqué ci-dessus.
 OIð
 Tableau 3 Conductivité statique de métaux courants
 òó (S/m) @ 25°C
 0,700.107
 3,816.107
 4,098.107
 5,813.107
 6,173.107
 R. Somaraju et J. Trumpf, « Frequency, Temperature and Salinity Variation of the Permittivity of Seawater »,
 Antennas Propag. IEEE Trans. On, vol. 54, no 11, p. 3441‐3448, 2006.
 Page n° 34/75
 III.2.4 Bilan des puissances (théorème de Poynting)
 Considérons un volume § LHI fermé par une surface _Ã :
 Figure 30 Volume pour le théorème de Poynting
 Dans §, les énergies moyennes électrique •Å et magnétique •‘ sont associées aux
 champs correspondant par les relations :
 ¬- ∗ '§›
 ( . 67)
 •Å = ;4 š ô ¬- . â
 ¬- . T
 ¬-∗ '§ ›
 ;4 š ô ¢
 Elles sont l’analogue des énergies potentielle et cinétique dans le domaine mécanique,
 les différentes formes pouvant être alternativement adoptées sous l’effet du travail
 effectué par les forces en présence.
 Le théorème de Poynting (on ne présentera pas ici la démonstration détaillée qui
 peut être consultée dans [2]) établit le bilan des puissances dans ce contexte très
 général (surface _Ã fermée ou partiellement ouverte, présence ou absence de
 sources internes, milieux avec ou sans pertes, etc...) :
 ( . 69)
 wö w †w‹ w÷ wø wù ‡ 2OI#•‘ •Å $
 La puissance wö générée par les sources internes à § est répartie suivant :
 1) la puissance w échangée au travers de la surface _Ã (sur certaines parties
 elle peut entrer dans §, sur d’autres elle peut en sortir)
 2) la puissance w‹ dissipée dans le milieu (pertes joules w÷ , diélectriques wø ,
 magnétiques wù , certaines ou toutes pouvant être négligeables)
 3) la puissance stockée (éventuellement)
 En reliant terme à terme les puissances aux grandeurs électromagnétiques
 fondamentales, la relation devient :
 ô ¬- . ã- '§
 2 Ã Ò
 ¬-∗ ¬¬¬¬¬¬¬ú ¬- « ¢
 '_Ã
 2 ÒÈ
 ô j ¬- j '§
 ô ( ̄ " j ¬- j
 ¬-j
 O ∫∫∫Ã (® ¤ j¢
 ̄ ¤ j ¬- j ) '§
 ¬-j ) '§
 ® " j¢
 ¬- « ¢
 ¬-∗ est la forme harmonique du vecteur de Poynting (généralement noté _-$ dont la
 partie réelle correspond à la densité de puissance active moyenne.
 III.2.5 Conditions aux interfaces
 Soit la surface de séparation entre deux milieux LHI, sur laquelle sont établies une
 densité de charge rï et une densité de courant ¬¬ãï :
 Page n° 35/75
 Figure 31 Définition des grandeurs EM à l’interface entre deux milieux
 On démontre (annexe IX.5) les relations générales suivantes :
 ¬¬¬¬- ¬¬¬¬â ‡ rï
 à dü. †â
 Þ dü. †T
 ¬¬¬¬- T
 ¬¬¬¬-‡ 0
 ß †¬¬¬¬- ¬¬¬¬-‡ « dü ¬0Þ
 ¬¬¬¬- ¬¬¬¬¢ ‡ « dü ã¬¬-ï
 Ý†¢
 Les interfaces entre un milieu diélectrique et le métal d’une part, entre deux matériaux
 diélectriques d’autre part sont très courantes dans les supports de transmission.
 ¬-. En combinant (c) et (d) :
 A l’interface entre deux diélectriques ¬¬ãï 0
 ¬¬¬¬¬¬ý
 ¬¬¬¬¬¬¬¢ý
 Les champs tangentiels électriques et magnétiques sont continus à l’interface entre
 deux diélectriques
 Les charges libres étant accumulées sur la périphérie d’un conducteur idéal (å ∞$
 en présence d’un champ électrique externe à celui-ci, ses champs électriques
 internes sont nuls. Considérant l’hypothèse d’un milieu 2 parfaitement conducteur, (c)
 ¬¬¬¬¬¬¬( . 73)
 Cette situation est similaire à celle d’une tension § sur un court-circuit (§ 0$, aussi
 les surfaces sur lesquelles la condition ci-dessus est remplie sont appelées « surfaces
 de court-circuit électrique (CCE) ».
 Le champ électrique tangentiel est nul à la surface d’un conducteur parfait
 ¬¬¬¬¬¢ý
 Par analogie on considère la condition correspondante pour le champ magnétique :
 Des interfaces naturelles associées à cette condition n’existent pas, mais ils
 apparaissent dans les plans de symétrie électromagnétique (cf IV.3.3).
 Le champ tangentiel magnétique est nul sur une surface de court-circuit magnétique
 III.3 Onde électromagnétique plane
 On considère un milieu LHI infini vide de charges (å
 0$ et sans pertes ( ̄+ et ®+
 Les équations de Maxwell deviennent :
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 ¬#a$
 à∇ × ¬- = −OI®¢
 Þ ∇×¢
 ¬- = OI ̄ ¬( . 75)
 ∇ ¬- = 0
 ∇¢
 En combinant l'identité vectorielle générale ∇ × ∇ × S- = ∇†∇. S-‡ − ∆S- avec ∇ × #a, b$ :
 ¬- = OI ̄ ¬- ‡
 ∇ × ∇ × ¬- = ∇†∇. ¬- = 0‡ − ∆ ¬- = −OI®†∇ × ¢
 ¬- = ∇†∇. ¢
 ¬- = 0‡ − ∆¢
 ¬- = −OI®†∇ × ¬- = −OI®¢
 ¬- ‡
 ∇×∇×¢
 Il en découle l’équation de Helmholtz :
 ¬¬- + K 2
 ¬- correspondant à ¬- ou ¢
 ¬-, K = I√ ̄®. Cette équation présente une similitude
 avec l’équation De D’Alembert (cf. I.2.2), sauf que l’inconnue est ici une grandeur
 vectorielle. Par identification de K avec le nombre d’onde, on a K = . La célérité de
 l’onde électromagnétique est ainsi reliée aux paramètres électriques du milieu de
 ( . 77)
 √ + ®+
 1ø× ù×
 ‚ 3. 10 ¡/„
 ¬- est affectée par l’équation d’Helmholtz de
 Chaque composante cartésienne de ¬- ou ¢
 façon similaire à
 électromagnétiques dans le vide.
 % " !" h"
 + + +K +K +K = 0
 K¬- = K bü + K Éü + K ̂
 La solution de cette équation est recherchée en prenant en compte l’indépendance du
 phénomène de propagation par rapport aux 3 axes du repère. C’est la méthode de
 séparation des variables où
 = %#b$!#É$h# $. On pose également K = K + K +
 K , l’équation précédente devient :
 C’est une somme de 3 équations d’ondes unidimensionnelles indépendantes.
 Chacune présente une solution progressive (raisonnement similaire pour la solution
 ¬rétrograde) similaire à celle dépendant de b : % = ... 8 4 56V . Il vient
 = ... 4 56V.+avec la constante d’intégration ... = ... 8 ... ̃ ... Â , le vecteur position 0- = b. bü + É. Éü +
 . ̂ et K¬- qui est le vecteur d’onde :
 Puisque ¬- #0 = 0$ = ... bü + ... Éü +
 de l’équation de Helmholtz :
 ¬- #0$ = ¬- #0$4 56V¬-.+-
 ̂ , il vient l’expression de l’onde plane, solution
 ¬∇ ¬- = 0 => K¬- . ¬- #0$4 56V.+- = 0. K¬- est donc orthogonal au champ électrique.
 ¬- = 5 ∇ × ¬- = 9 ¬- × ∇4 56V¬-.+- =
 ¬- × Ž−O (K¬- = ? . K )• 4 56V¬-.+- = 3 ø ¬- ×
 On a aussi ¢
 6?ù
 K 4 56V.+- , ce qui donne finalement :
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 ¬- = •... ¢
 ¬- × K
 ¬- , ¢
 ¬- et K forment un trièdre direct : les champs électrique et magnétique sont
 orthogonaux entre eux et au vecteur d’onde, ce dernier étant orienté dans la direction
 de propagation. Ainsi l’onde plane présente une configuration d’onde transverse
 électromagnétique (TEM).
 Par ailleurs les amplitudes des champs électriques et magnétiques sont reliées par un
 terme •... homogène à une impédance. C’est l’impédance d’onde. Pour une onde
 électromagnétique, celle-ci est très généralement définie comme le rapport entre ses
 composantes transverses. On a donc ici :
 ( . 83)
 Cette expression montre que les ondes TEM ont une impédance d’onde identique à
 l’impédance intrinsèque du milieu (d’indice i) définie par :
 •... = 3
 ( . 84)
 L’impédance • d’une onde TEM dans un milieu LHI est donc aussi l’impédance
 intrinsèque de ce milieu. Dans le cas du vide •} = η} :
 η... = 3
 •} = ¶ ‚ 120F ‚ 377 Ω
 . 85)
 En l’absence de pertes dans le milieu, ̄ et ® sont purement réels et l’impédance
 intrinsèque aussi. L’idée peut paraître surprenante qu’une impédance soit associée à un
 milieu de propagation, le vide par exemple : il n’y a aucune dissipation de puissance de
 l’onde électromagnétique dans un milieu sans pertes ! En fait l’onde plane traverse des
 surfaces orthogonales à la direction de propagation de proche en proche, continument.
 Suivant le théorème de Poynting, c’est, la dissipation de puissance associée au
 passage de l’onde d’une surface à sa voisine qui permet d’interpréter physiquement
 cette notion d’impédance du milieu.
 On remarque également que les champs électriques et magnétiques de l’onde plane
 L’onde électromagnétique à symétrie sphérique dans ce milieu a une expression très
 proche de celle de l’onde plane. La différence provient de sa décroissance d’amplitude
 en (cf. I.2.1) par divergence. C’est l’onde localement plane sphérique qui a une grande
 importance dans l’étude du rayonnement des antennes. D’autres lois de divergence
 existent également (onde cylindrique, etc...).
 III.4 Atténuation de l’onde plane
 Dans la section III.3 a été établie l’équation d’Helmoltz en l’absence de pertes. On
 considère ici le cas d’un milieu qui présente des pertes par conduction (å ≠ 0$ et
 diélectriques ( ̄ = ̄ ¤ − O ̄ " $.
 ∇∧†∇∧ ¬- = −OI®¢
 ( . 86)
 " ¬¤ ¬¬
 ¬¬¬¬¬¬¬∇∧¢ = OI† ̄ − O ̄ ‡ + å = OI ̄ + ã + ãÏ #g$
 ¬¬¬ã¬¬¬Ï est la densité de courant de conduction (liée aux charges). ã est appelée densité
 de courant de déplacement. Elle est associée aux pertes diélectriques. En combinant
 (a) et (b) :
 Page n° 38/75
 ¬( . 87)
 ) ¬- = 0
 Cette équation vectorielle regroupe des formes analogues à l’équation d’onde en
 tension des télégraphistes rencontrée dans II.2.3. On pose :
 ( . 88)
 −2 = I ® ̄ (1 − O )
 comme axe de propagation, ceci implique une solution générale
 stationnaire dont la composante directe est :
 ∆ ¬- + I ® ̄ (1 − O
 ¬- = ¬- #0$4 5 ́
 Avec 4 5 ́ = 4 5 4 56Á . Le facteur d’atténuation 4 5
 propagation 4 56Á obtenu en l’absence de pertes.
 modifie le facteur de
 III.4.1 Milieu bon conducteur
 C’est un milieu où les pertes par conduction dominent largement les pertes
 diélectriques, soit å ≫ I ̄. Il résulte l’expression simplifiée de la constante de
 propagation 2 :
 I®å
 de cette onde est donc :
 2 ‚ #1 + O$3
 La célérité c
 . 90)
 Cette expression évolue proportionnellement à 1%. Un milieu bon conducteur est
 donc fortement dispersif.
 Plus la conductivité est élevée, plus l’affaiblissement de l’onde est important. Une
 conductivité théorique infinie correspond à l’absence totale de propagation dans le
 milieu. L’épaisseur de peau ë exprime la distance caractéristique de pénétration de
 l’onde dans un bon conducteur. Elle est établie lors d’une division de l’amplitude de
 l’onde par 4, soit :
 . 92)
 L’épaisseur de peau diminue très rapidement et dans les mêmes proportions avec la
 fréquence et la conductivité. Le tableau ci-dessous montre que la pénétration des
 ondes est réduite à quelques microns dans des métaux standards à 1 GHz.
 Tableau 4 Epaisseur de peau et célérité électromagnétique dans des métaux à 1 GHz
 Matériau å #_/¡$ @ 20°C ë #®¡$ @ 1 GHz
 × 10è @ 1 GHz
 7,000.106
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 La densité de courant associée est essentiellement localisée en périphérie du
 conducteur. On la relie à la résistance de surface ;ï :
 ;ï =
 III.4.2 Diélectriques usuels
 Ce sont des milieux amagnétiques #®+ = 1$ isolants (å = 0$ où les pertes restent
 assez faibles #tan ë ≪ 1$. En conséquence ̄ " ≪ ̄ ¤ . Partant de l’ . 86, il vient :
 2 = · + O ̧ = OI1 ̄ ¤ ®} #1 − adë$ ‚ OI1 ̄ ¤ ®} “1 − O. adë•
 Par identification et compte tenu de K} = = I1 ̄} ®} :
 · = K. adë
 ̧ = 1 ̄+ . K} = d. K} = K
 . 94)
 d = 1 ̄+¤ est l’indice du milieu, K} le nombre d’onde dans le vide. L’unité naturelle de ·
 /¡ (Neper par mètre). On préfère généralement exprimer la constante
 d’atténuation en 'T/¡ à partir de :
 ·yz/‘ = 10{|! } Ž
 ·yz/‘ = 91d. %ö
 • = 10{|! } ’
 | #}$Å Y
 j #}$Å Y # Z•$ j
 ·yz/‘ augmente donc en même proportion avec l’indice, la fréquence et
 Quelques valeurs particulières sont indiquées ci-dessous :
 Tableau 5 Atténuation dans quelques milieux diélectriques
 ìí ’
 adë. 10ç @25°C
 ·yz/‘
 Céramique (A-35)
 Eau douce (20°C)
 157,0 !!!
 adë.
 On note les pertes considérables qui apparaissent pour l’onde TEM dans l’eau douce
 dès 1 GHz , mais l’hypothèse !ë ≪ 1 n’est plus tout à fait respectée dans ce cas
 limite. L’atténuation augmente encore dans l’eau salée du fait des pertes
 supplémentaires par conduction liées aux ions dans ce milieu.
 Un système Wi-Fi à 2,4 GHz aurait une portée d’environ 10 cm dans l’eau de mer, si
 son antenne était conçue pour ce milieu. Il ne gagnerait que 1 cm de portée
 supplémentaire chaque fois que sa puissance d’émission serait multipliée par 10 !
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 IV ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS LES
 IV.1 Nomenclature des guides
 Un guide est caractérisé une section droite et des propriétés électriques invariantes
 selon l’axe de propagation (axe $. On distingue les lignes (au moins deux
 conducteurs disjoints), le caractère ouvert ou fermé (entouré de métal), le caractère
 homogène ou inhomogène des matériaux présents. Le tableau ci-dessous illustre des
 réalisations classiques :
 Tableau 6 Exemples de guides
 (Air - Métal – Diélectrique)
 Ligne filaire (bifilar line)
 Guide ou ligne coaxiale
 (Coaxial line)
 Guide ou ligne à plans
 Guide ou
 (stripline)
 Guide ou ligne Microruban
 (Microstrip line)
 Guide ou ligne fente (slot line)
 Ligne ou guide coplanaire
 (coplanar waveguide)
 Guide métallique rectangulaire
 (standard, nervuré)
 Ligne homogène
 Ligne inhomogène
 (elliptique)
 Guide fermé
 Guide diélectrique
 (rectangulaire, circulaire)
 Guide diélectrique non radiatif
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 La fibre optique, le câble coaxial, la ligne microruban sont parmi les plus répandus.
 Loin d’être exhaustif, ce tableau introduit la grande diversité de supports de
 propagation utilisés suivant différents critères d’ingénierie (fréquence, pertes,
 dispersion, coût, etc.).
 IV.2 Lignes de transmission réelles
 IV.2.1 Onde plane - Onde TEM
 Considérons une onde plane uniforme qui se propage selon . Ces champs sont
 représentés dans la partie (a) de la figure ci-dessous :
 Figure 32 Conformation des lignes de champs de l’onde plane uniforme par deux conducteurs
 pleines et pointillées
 représentent les lignes de
 champs (les vecteurs et ¢ leurs sont respectivement toujours tangentiels).
 Du fait des conditions aux limites sur le métal, l’insertion de parois horizontales
 métalliques en (b) conserve entre celles-ci la distribution des champs (a). La structure
 qui apparaît en (b) est celle du guide plan parallèle (n°3 dans le tableau 6). Ce dernier
 peut donc propager une onde plane. Une réduction de la largeur de la paroi
 supérieure conduit à la configuration (c), où on reconnaît la ligne microruban (n° 5)
 dont le substrat diélectrique est l’air. Cette ouverture n’a aucun impact sur le caractère
 transverse des lignes de champs, mais elle modifie leur conformation et densité. Les
 lignes de champ électrique joignent les deux conducteurs tandis que les lignes de
 champ magnétique forment des boucles. L’intensité du champ évolue en
 conséquence en tout point autour de la ligne. Il s’agit donc d’une onde plane non
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 uniforme. Dans le contexte des guides, on préfère la dénomination onde TEM
 (transverse électromagnétique). Le conducteur supérieur dans (c) peut être remplacé
 par un cylindre sans grande conséquence sur les lignes de champs (d). On peut alors
 déformer le conducteur inférieur et le refermer circulairement sur lui-même dans (e),
 faisant apparaître la ligne coaxiale (n° 2) qui permet donc également la propagation
 d’une onde TEM. La ligne bifilaire en (f) (n° 1 dans le tableau 6) est obtenue par une
 symétrie de la figure (d). Finalement toute modification de forme conservant l’état
 disjoint des conducteurs reste compatible avec la propagation d’une onde TEM.
 IV.2.2 Relations entre paramètres linéiques et propriétés EM des milieux
 Une tension § provient de la différence entre les potentiels ∅ et ∅ résultant de la
 concentration des charges électriques sur chaque conducteur. Elle a pour
 § = ∅ − ∅ = 3 ¬- . ¬¬¬'{
 On rappelle que l’intégrale ne dépend pas du chemin quelconque choisi pour relier les
 deux conducteurs (système conservatif).
 De façon similaire, le courant est déduit de la circulation du champ magnétique sur
 n’importe quel contour fermé qui entoure les conducteurs de dimensions
 transversales finies :
 ¬¬¬¬¬¬- . '¥
 . 98)
 Les champs qui évoluent selon ont pour facteur de propagation 4 56 ́ (2 complexe
 dans un milieu de propagation à pertes). Ainsi les deux relations précédentes
 définissent des ondes de tension et de courant qui évoluent avec ce même facteur de
 En conséquence, la propagation de l’onde TEM qui se propage le long d’un guide
 homogène à deux conducteurs disjoints est décrite pas la théorie des lignes déjà
 présentée dans la section II.
 Les grandeurs linéiques RLCG (cf. II.2.1) sont obtenues à partir de correspondances
 énergétiques entre champs électromagnétiques et les grandeurs électriques. Les
 énergies moyennes électriques •Å et magnétiques •‘ ont été introduites dans III.2.4.
 Tableau 7 Equivalence énergétique champs / circuits
 stockée moyenne •‘
 stockée moyenne •Å
 Puissance w÷ dissipée
 Puissance wø dissipée
 dans le diélectrique
 ¬- . ¢
 ¬- ∗ '_
 ¬- ∗ '{
 2 •9
 ;| ̈|
 q| ̈|
 ú ¬- . ¬- ∗ '_
 ¥|§|
 ωε"
 £ |§|
 ;ï est la résistance à la surface du conducteur (cf. III.4.1). Les résultats de ce
 tableau associés aux relations de passage champs / tension-courants précédents
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 permettent d’extraire les grandeurs linéiques suivant les géométries et matériaux
 constituant les lignes de transmission. On retrouvera dans [2] les calculs non
 détaillés ici, ainsi qu’une synthèse des expressions pour quelques cas classiques
 Tableau 8 Grandeurs linéiques de lignes standards
 A plans parallèles
 q#¢/¡$
 ®. ¦
 ¥#¦/¡$
 I ̄ " .
 {d “ • /2F
 ̄¤.
 £′#_/¡$
 |„h5 #h/'$
 F' ï
 ;#Ω/¡$
 2F 0...
 0Å ï
 ¦ est un facteur de forme qui met en évidence le caractère générique des
 expressions de q, ¥ et £′, ainsi que les correspondances q ↔ ® et ¥ ↔ ̄ ¤ .
 L’augmentation de ¦ avec la distance de séparation entre les conducteurs entraine
 celle de q, ainsi que la réduction de ¥ et de £′.
 Dans le cas où les pertes sont nulles † ̄ "
 l’impédance caractéristique • est :
 0⇒ ;
 0‡, l’expression de
 ¦. •...
 Cette relation met en évidence le lien entre l’impédance caractéristique •
 l’impédance intrinsèque du milieu η... pour la ligne sans pertes.
 La constante de phase ̧ a pour expression dans les mêmes conditions :
 I√q¥
 I1®ε
 ̧ dans la ligne est identique au nombre d’onde K dans le milieu homogène
 correspondant sans conducteurs. L’onde TEM a donc la même célérité que l’onde
 plane en l’absence des conducteurs.
 IV.2.3 Lignes de transmission multi-conducteurs
 On montre que dans le cas général :
 Il existe N-1 modes (ondes) TEM linéairement indépendants dans un guide
 homogène à N conducteurs
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 Figure 33 Guides multi-multiconducteurs (a) homogène) (b) inhomogène
 Par exemple la configuration (a) ci-dessus permet la propagation possible de 4 modes
 TEM du fait des 5 conducteurs disjoints et d’un milieu de propagation homogène ( ̄ ),
 tandis que la configuration (b) n’en présente rigoureusement aucun du fait des
 différentes permittivités diélectriques. Cependant si les fréquences sont
 « suffisamment basses » et selon les propriétés électriques des milieux, l’existence de
 deux ondes linéaires indépendantes dont les champs sont quasiment transverses
 sera possible (modes quasi-TEM). Avec de telles conditions, cette ligne coplanaire (b)
 (cf. n° 7 dans tableau 6) peut aussi être traitée à partir de la théorie des lignes.
 IV.2.4 Lignes de transmission multiphysiques
 Différents domaines de la physique des ondes font apparaître des équations qui
 présentent des analogies avec les lignes de transmission. De telles analogies sont
 recherchées car elles permettent de bénéficier des nombreux apports de la théorie
 des lignes, facilitant la modélisation et les études (dimensionnement, analyse).
 A titre d’illustration, le tableau ci-dessous résume les correspondances dans le cas
 du déplacement d’une masse liée à un ressort et dans celui de la propagation d’une
 onde acoustique dans un fluide compressible.
 Tableau 9 Lignes de transmission dans différentes disciplines physiques
 Masse / ressort
 Onde acoustique dans un
 tube de fluide compressible
 Masse ¡
 Raideur K+
 Force mécanique %
 Equivalent courant
 Inductance linéique
 Masse volumique de gaz r ̃
 linéique χ
 Déplacement du gaz
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 Capacité linéique ¥
 De nombreuses autres équivalences similaires pourront être trouvées dans la
 IV.3 Propagation des ondes EM dans les guides dispersifs
 IV.3.1 Approche intuitive dans le guide métallique rectangulaire creux
 On considère l’exemple du guide rectangulaire métallique creux (cf. n° 8 dans le
 Figure 34 (a) Guide rectangulaire métallique creux, (b) onde plane transverse impossible
 Les parois métalliques imposent la nullité du champ électrique transverse (condition
 CCE ( . 73), cf III.2.5). Cette condition est bien vérifiée sur les parois horizontales
 avec la polarisation choisie, mais pas verticales comme le montre la figure (b) cidessus. Toute rotation de la polarisation conduit à des contradictions similaires. Il est
 donc impossible que l’onde plane uniforme se propage suivant l’axe d’un tel guide.
 Faisons légèrement pivoter l’onde incidente de la figure 34 d’un angle
 #b, $ autour de l’axe É :
 Figure 35 Trajets symétriques dans un plan de section longitudinale
 Le respect de la condition CCE sur les bords impose l’existence de 2 ondes planes
 4 ¬¬¬¬¬¬¬¬symétriques ¬¬¬¬¬¬¬¬ï
 Ù•8 . L’illustration montre en effet que les fronts positifs d’une
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 propagation figure lignes milieu champs ondes ligne guide pertes 141117a suivant equations impedance transmission equation
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text:
W zakresie prawa do odliczenia podatku naliczonego z tytułu nabycia paliwa do pojazdów samochodowych będących przedmiotem windykacji oraz braku obowiązku prowadzenia ewidencji przebiegu pojazdu
 IBPP2/443-1252/14/KOinterpretacja indywidualna
 Na podstawie art. 14b § 1 i § 6 ustawy z dnia 29 sierpnia 1997 r. Ordynacja podatkowa (t.j. Dz.U. z 2012 r., poz. 749 ze zm.) oraz § 2 i § 5 rozporządzenia Ministra Finansów z dnia 20 czerwca 2007 r. w sprawie upoważnienia do wydawania interpretacji przepisów prawa podatkowego (Dz.U. Nr 112, poz. 770 ze zm.) Dyrektor Izby Skarbowej w Katowicach, działający w imieniu Ministra Finansów, stwierdza, że stanowisko Wnioskodawcy przedstawione we wniosku z 5 grudnia 2014 r. (data wpływu 15 grudnia 2014 r.) uzupełnionym pismem z 25 lutego 2015 r. (data wpływu) o wydanie interpretacji indywidualnej przepisów prawa podatkowego dotyczącej podatku od towarów i usług w zakresie prawa do odliczenia podatku naliczonego z tytułu nabycia paliwa do pojazdów samochodowych będących przedmiotem windykacji oraz braku obowiązku prowadzenia ewidencji przebiegu pojazdu - jest prawidłowe.
 W dniu 15 grudnia 2014 r. wpłynął ww. wniosek uzupełniony pismem z 25 lutego 2015 r. o wydanie interpretacji indywidualnej przepisów prawa podatkowego w indywidualnej sprawie dotyczącej podatku od towarów i usług zakresie prawa do odliczenia podatku naliczonego z tytułu nabycia paliwa do pojazdów samochodowych będących przedmiotem windykacji oraz braku obowiązku prowadzenia ewidencji przebiegu pojazdu.
 Wnioskodawca prowadzi działalność gospodarczą głównie w zakresie obrotu wierzytelnościami, windykacji oraz świadczenia usług poprawy płynności finansowej przedsiębiorców.
 Wnioskodawca prowadzi również działalność w zakresie windykacji pojazdów samochodowych stanowiących przedmiot umowy leasingu. W ramach umów zawieranych ze swoimi kontrahentami (Bankami oraz Funduszami Leasingowymi) Wnioskodawca zobowiązany jest do odbioru pojazdów samochodowych stanowiących własność kontrahenta i przedmiot umowy leasingu, od klienta swego kontrahenta (leasingobiorcy) i dostarczenia go w miejsce wskazane przez kontrahenta (właściciela pojazdu - bank). W ramach wykonywania tychże umów do obowiązków Wnioskodawcy należy wykonanie następujących czynności: wysłanie swojego pracownika do leasingobiorcy po odbiór pojazdu samochodowego, umycie nadwozia pojazdu i wyczyszczenie wnętrza pojazdu, ewentualne wykonanie drobnych napraw pojazdu, zatankowanie paliwa „do pełna” i niezwłoczne odstawienie pojazdu w miejsce wskazane przez kontrahenta (właściciela pojazdu - bank). Pojazdy samochodowe nie są - co Wnioskodawca podkreśla - wykorzystywane w żaden sposób przez Wnioskodawcę w ramach prowadzonej przez niego działalności. Pojazdy te, po dokonaniu określonych wyżej czynności, są niezwłocznie odstawiane w miejsca wskazane przez właściciela.
 Wyświadczoną usługę w ww. zakresie Wnioskodawca dokumentuje fakturą VAT, usługa ta podlega, opodatkowaniu podatkiem VAT. Obecnie Wnioskodawca nie odlicza VAT wynikającego z faktur dokumentujących nabycie paliw do ww. samochodów, nie czynił tego także w przeszłości.
 Pismem z 25 lutego 2015 r. Wnioskodawca uzupełnił zaistniały stan faktyczny następująco:
 Wnioskodawca wskazuje, że pojazdy samochodowe opisane we wniosku nie mogą być wykorzystywane w żaden sposób przez Wnioskodawcę w ramach prowadzonej przez niego działalności. Wnioskodawca ma prawo wyłącznie do działania w imieniu i na rzecz właścicieli tych pojazdów w zakresie wynikającym z umowy zawartej pomiędzy nim a kontrahentami – właścicielami tych samochodów.
 Czy w przypadku nabycia paliwa do ww. pojazdów kwotę podatku naliczonego stanowi kwota podatku o której mowa w art. 86 ust. 2 ustawy o podatku od towarów i usług, tj. czy w związku z nabyciem paliwa do ww. pojazdów Wnioskodawca ma prawo do pełnego odliczenia podatku VAT wynikającego z faktury zakupu paliwa...
 Czy na Wnioskodawcy w związku z powyższym ciążą jakiekolwiek obowiązki ewidencyjne określone w art. 86 a ustawy o podatku od towarów i usług, a także informacyjne określone w art. 86a ust. 12, 13 i 14 ustawy o podatku od towarów i usług...
 Wnioskodawcy przysługuje prawo do pełnego odliczenia podatku VAT wynikającego z faktury zakupu paliwa nabytego do napędu pojazdów opisanych w poz. 68 niniejszego wniosku. Wnioskodawca nie używa bowiem ww. pojazdów, zgodnie z art. 86a ust. 2 pkt 2 ustawy o podatku od towarów i usług, na podstawie umowy najmu, dzierżawy, leasingu lub innej umowy o podobnym charakterze. Nie można ponadto stwierdzić, aby Wnioskodawca w rozumieniu przepisów ustawy o podatku od towarów i usług w jakikolwiek sposób „używał” wskazanych pojazdów. W rozumieniu przepisów ustawy pojazdy te są przedmiotem usługi świadczonej przez Wnioskodawcę na rzecz swojego kontrahenta.
 W związku z powyższym Wnioskodawca nie ma nadto obowiązku prowadzenia ewidencji przebiegu pojazdu, o których mowa w art. 86a ustawy o VAT, dla potrzeb pełnego odliczenia podatku VAT wynikającego z faktur zakupu paliwa nabytego do napędu pojazdów opisanych w poz. 68 niniejszego wniosku. Na Wnioskodawcy nie ciążą w związku z powyższym obowiązki informacyjne określone w art. 86a ust. 12, 13 i 14 ustawy o VAT
 Wątpliwości Wnioskodawcy dotyczą kwestii czy w przypadku nabycia paliwa do ww. pojazdów ma prawo do pełnego odliczenia podatku VAT wynikającego z faktury zakupu paliwa oraz czy ciążą na nim obowiązki ewidencyjne określone w art. 86a ustawy, a także informacyjne określone w art. 86a ust. 12, 13 i 14 ustawy.
 W odniesieniu do wątpliwości Wnioskodawcy związanych z prawem do odliczenia od wydatków związanych z nabyciem paliwa do napędu samochodów stwierdzić należy, że wydatki na paliwo na gruncie ustawy o podatku od towarów i usług zaliczane są do kategorii wydatków związanych z eksploatacją i użytkowaniem pojazdów samochodowych. Kwestie odliczenia wydatków związanych z eksploatacją i użytkowaniem pojazdów samochodowych zostały uregulowane w art. 86a ustawy o VAT.
 Zgodnie z art. 86a ust. 2 pkt 3 ustawy o VAT do wydatków związanych z pojazdami samochodowymi, o których mowa w ust. 1, zalicza się wydatki dotyczące nabycia lub importu paliw silnikowych, oleju napędowego i gazu, wykorzystywanych do napędu tych pojazdów, usług naprawy lub konserwacji tych pojazdów oraz innych towarów i usług związanych z eksploatacją lub używaniem tych pojazdów.
 W myśl art. 86a ust. 3 pkt 1 ustawy – przepis ust. 1 nie ma zastosowania:
 W przedstawionym stanie faktycznym Wnioskodawca w ramach umów zawieranych ze swoimi kontrahentami (Bankami oraz Funduszami Leasingowymi) zobowiązany jest do odbioru pojazdów samochodowych, stanowiących własność kontrahenta i przedmiot umowy leasingu, od klienta swego kontrahenta (leasingobiorcy) i dostarczenia go w miejsce wskazane przez kontrahenta (właściciela pojazdu - bank). W ramach wykonywania tychże umów do obowiązków Wnioskodawcy należy wykonanie następujących czynności: wysłanie swojego pracownika do leasingobiorcy po odbiór pojazdu samochodowego, umycie nadwozia pojazdu i wyczyszczenie wnętrza pojazdu, ewentualne wykonanie drobnych napraw pojazdu, zatankowanie paliwa „do pełna” i niezwłoczne odstawienie pojazdu w miejsce wskazane przez kontrahenta (właściciela pojazdu - bank). Pojazdy samochodowe nie są wykorzystywane w żaden sposób przez Wnioskodawcę w ramach prowadzonej przez niego działalności. Pojazdy te, pod dokonaniu określonych wyżej czynności, są niezwłocznie odstawiane w miejsca wskazane przez właściciela. Wnioskodawca ma prawo wyłącznie do działania w imieniu i na rzecz właścicieli tych pojazdów w zakresie wynikającym z umowy zawartej pomiędzy nim a kontrahentami – właścicielami tych samochodów.
 Z opisu sprawy wynika, że Wnioskodawca nie posiada żadnego tytułu prawnego do używania pojazdów. Wnioskodawca na mocy umowy jest uprawiony wyłącznie do wykonania ściśle określonych czynności wymienionych w zawartej pomiędzy stronami umowie. Wnioskodawca nie jest uprawniony do używania czy też eksploatacji pojazdów w ramach prowadzonej przez niego działalności gospodarczej. Zawarta umowa zobowiązuje Wnioskodawcę do odbioru pojazdów samochodowych, stanowiących własność kontrahenta, od klienta swego kontrahenta (leasingobiorcy), wykonania wymienionych w umowie czynności i dostarczenia tych pojazdów w miejsce wskazane przez kontrahenta (właściciela pojazdu - bank). Właścicielem pojazdów jest Bank lub Fundusz Leasingowy.
 Analiza ww. przepisów art. 86a ust. 2 pkt 3 wskazuje, że ograniczenie w odliczaniu podatku naliczonego przy nabyciu paliwa dotyczy wydatków związanych z pojazdami samochodowymi używanymi na podstawie tytułu prawnego do używania tych pojazdów do działalności gospodarczej.
 Tymczasem w rozpatrywanej sprawie pojazdy samochodowe, będące przedmiotem windykacji, do których Wnioskodawca w oparciu o zapisy umowy zobowiązany jest do m.in. zatankowania paliwa „do pełna” i niezwłocznego odstawienia pojazdu w miejsce wskazane przez właściciela pojazdu – bank, nie posiada żadnego tytułu ani uprawnienia do użytkowania czy eksploatacji tych pojazdów w prowadzonej przez siebie działalności gospodarczej. Właścicielem tych pojazdów jest Bank lub Fundusz Leasingowy. Zatem należy uznać, że pojazdy te nie są używane czy eksploatowane stricte w prowadzonej przez Wnioskodawcę działalności gospodarczej. Wnioskodawca jest wyłącznie uprawniony do wykonania określonych czynności związanych przygotowaniem tych pojazdów do przekazania właścicielowi.
 W konsekwencji przyjąć należy, że przepisy art. 86a ustawy o VAT nie będą miały zastosowania. Podkreślenia jednakże wymaga, że Wnioskodawca co prawda nie jest zobowiązany do prowadzenia ewidencji przebiegu pojazdów, ale zobowiązany jest do prowadzenia dokumentacji, z której jednoznacznie wynika, że nabywane paliwo jest przeznaczone wyłącznie do pojazdów, będących przedmiotem windykacji, których właścicielem jest Bank lub Fundusz Leasingowy. Prawo do odliczenia podatku naliczonego z tytułu wydatków poniesionych na zakup paliwa do pojazdów będących przedmiotem windykacji przysługuje Wnioskodawcy na zasadach ogólnych w oparciu o przepisy art. 86 ust. 1 i kolejne ustawy o VAT. Zatem w przypadku, gdy wydatki na zakup paliwa w okolicznościach przedstawionych we wniosku pozostają w związku wykonywanymi przez Wnioskodawcę czynnościami opodatkowanymi podatkiem od towarów i usług, to Wnioskodawcy przysługuje prawo do odliczenia podatku naliczonego zgodnie z art. 86 ust. 1 ustawy o VAT w zakresie w jakim są wykorzystywane do wykonywania czynności opodatkowanych Wnioskodawcy.
 Tym samym Wnioskodawca nie jest zobowiązany do prowadzenia ewidencji przebiegu pojazdów, będących przedmiotem windykacji, jak również do złożenia informacji wynikających z art. 86a ust. 12, 13 i 14 ustawy o VAT, bowiem jak wskazano wyżej w opisanej sytuacji nie ma zastosowania art. 86a ustawy.
 Końcowo należy podkreślić, że zgodnie z art. 14b § 3 cyt. w sentencji ustawy Ordynacja podatkowa, składający wniosek o wydanie interpretacji indywidualnej obowiązany jest do wyczerpującego przedstawienia zaistniałego stanu faktycznego albo zdarzenia przyszłego.
 W związku z powyższym, w przypadku zmiany któregokolwiek elementu przedstawionego we wniosku opisu zaistniałego stanu faktycznego, udzielona odpowiedź traci swą ważność.
 ILPP1/443-472/14-4/HW | Interpretacja indywidualna
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