Суфлер: Не могли бы вы помочь мне понять, как я могу оценить дисперсию переменной?
Помощник: Конечно, оценка дисперсии переменной — полезный инструмент для измерения того, насколько значения переменной отличаются от среднего. Наиболее распространенным методом оценки дисперсии переменной является расчет выборочной дисперсии. Это требует, чтобы вы вычислили среднее значение выборки, а затем вычли среднее значение из каждого значения в выборке и возвели результат в квадрат. Сумма этих квадратов разностей затем делится на размер выборки минус один, чтобы получить дисперсию выборки. Вы также можете оценить дисперсию совокупности, используя тот же метод, но вместо деления на размер выборки минус один вы делите на размер совокупности.
Суфлер: Можете ли вы предоставить математическую формулу для этого? И убедительный пример, чтобы помочь мне понять.
Вот пример формулы для расчета выборочной дисперсии переменной X с n наблюдениями:

Var(X) = ∑(X - X̄)^2/(n-1)

Где X̄ — среднее значение выборки, X — отдельное наблюдение в выборке, ∑ (X — X̄) ^ 2 — сумма квадратов разностей между каждым наблюдением и средним значением выборки, а n — размер выборки.

Вот пример:

Предположим, у вас есть выборка из 5 наблюдений переменной X: [1, 2, 3, 4, 5].

Среднее значение выборки равно (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 15 / 5 = 3.

Дисперсия может быть рассчитана следующим образом:

Var(X) = ((1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2) / (5- 1)
= (4 + 1 + 0 + 1 + 4) / 4
= 10/4
= 2,5

Таким образом, дисперсия переменной X в этой выборке равна 2,5.
Для случайной величины $X$ ее дисперсия $\sigma ^2 = E(X^2)-[E(X)]^2$, где $E(X)$ — ожидаемое значение $X$. Для дискретной случайной величины $X$ $E(X)=\sum x_iP(X=x_i)$. Для непрерывной переменной $E(X) = \int_{\infty}^{+\infty} xp(x)dx$.
Например, пусть $X$ — результат броска идеального игрального кубика, где X — дискретная случайная величина, а $P(X=1) = P(X=2) = ... = P(X=6) = \фракция{1}{6}$. Тогда $E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + ... + 6 \times \frac{1}{6} = 3,5$. $E(X^2) = 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6} + ... + 6^2 \times \frac{1} {6} = \frac{91}{6}$. Таким образом, дисперсия $\sigma ^2 = E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{91}{6} - 3,5^2 = \frac{35}{12}$.