Characterizing distributions of stochastic processes by linear operators
This report describes how the finite-dimensional marginal distributions of a stochastic process (Ω,A, P, (Xt)t∈T ) with values in an arbitrary measurable space (E,B), where T = N or T = R≥0, can be calculated with linear operators. In the discrete-time, discrete-observation case, we construct a family of linear operators (τa)a∈E on a suitable real vector space V , such that any probability P (X0 = a0, . . . , Xn−1 = an−1) can be obtained by evaluating a product of matrices and vectors of the form στan−1 · · · τa0v0, where v0 ∈ V is a suitable starting vector and σ is the vector (1, . . . , 1). Conversely, necessary and sufficient conditions are given for algebraic structures (V, (τa)a∈E, v0) to describe a distribution of a process. Thus, a 1–1 correspondence between certain algebraic structures and distributions of discrete processes is found. These results are generalized to continuous time and arbitrary measurable spaces. All in all, one obtains a novel access to stochastic processes, by showing a way to model their distributions purely by means from linear algebra. key words: stochastic processes, distributions, observable operator models Zusammenfassung. In diesem Report wird beschrieben, wie die endlichdimensionalen Randverteilungen eines stochastischen Prozesses (Ω,A, P, (Xt)t∈T ) mit Werten in einem beliebigen Meßraum (E,B), wobei T = N oder T = R≥0, mit linearen Operatoren berechnet werden können. Im Falle diskreter Zeit und endlichen Meßraumes konstruieren wir eine Familie linearer Operatoren (τa)a∈E auf einem geeigneten reellen Vektorraum V , so dass Wahrscheinlichkeiten der Art P (X0 = a0, . . . , Xn−1 = an−1) durch die Auswertung eines Matrizen/Vektorproduktes der Form στan−1 · · · τa0v0 erhalten werden, wobei v0 ∈ V ein geeigneter Startvektor und σ der Vektor (1, . . . , 1) ist. Umgekehrt werden hinreichende und notwendige Bedingungen für eine algebraische Struktur (V, (τa)a∈E, v0) angegeben, dass diese in der erwähnten Weise die Verteilung eines Prozesses beschreibt. So wird eine 1 – 1 Beziehung zwischen bestimmten algebraischen Strukturen und Verteilungen diskreter Prozesse aufgewiesen. Diese Ergebnisse werden sodann auf kontinuierliche Zeit und beliebige Messräume verallgemeinert. Alles in allem erhält man einen neuen Zugang zu stochastischen Prozessen, indem deren Verteilungen mit Mitteln der linearen Algebra modelliert werden. Stichwörter: stochastische Prozesse, Verteilungen, observable operator models