1.1 Семейство эффектов Холла
Эффект Холла — это создание разности напряжений (напряжения Холла) на электрическом проводнике, поперечной электрическому току в проводнике и приложенному магнитному полю, перпендикулярному току. Если такое напряжение возникает на краях проводника без приложенного магнитного поля, то эффект называется аномальным эффектом Холла. Напряжение в перпендикулярном направлении (напряжение Холла) в случае обычного эффекта Холла пропорционально приложенному магнитному полю, а в случае аномального эффекта Холла — намагниченности образца.    Рис. 1.1 Зависимость продольного ρxy (верхняя панель) и поперечного ρxx (нижняя панель) сопротивлений от приложенного магнитного поля в состоянии квантового эффекта Холла. Взято из [28]   Следующий член семейства — квантовый эффект Холла, является версией эффекта Холла с квантующимся сопротивлением Холла (отношение возникающего поперечного напряжения к протекающему продольному току) [29].  Квантовый эффект Холла возникает, когда в сильном магнитном поле в двухмерном электронном газе непрерывная плотность распределения состояний электронов разделяется на дискретные уровни — уровни Ландау. Если уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, материал оказывается изолятором в объеме, однако обладает проводящими состояниями на краях.  В этом случае сопротивление Холла оказывается константой от внешнего магнитного поля, а продольное сопротивление оказывается практически равным нулю (рис. 1.1). Каждый раз, когда уровень Ферми пересекает следующий уровень Ландау, на плато сопротивления Холла появляется скачок, величина которого с высокой точностью равна  ρxy=hνe2, где ν — некоторое целое число.   Электронная структура уровней Ландау в изолирующем состоянии (состояние квантового эффекта Холла) топологически неэквивалентна изолирующему состоянию тривиального изолятора. Такая система обладает числом Черна, отличным от числа Черна тривиального изолятора, что означает его принадлежность к другому топологическому классу [30]. Краевые состояния в квантовом эффекте Холла являются следствием контакта двух топологически различимых фаз [31] — материала, в котором наблюдается квантовый эффект Холла, и воздуха (вакуума).  Продолжают семейство спиновый эффект Холла и квантовый спиновый эффект Холла [32]. Первый аналогичен обычному эффекту Холла, за исключением того, что на противоположных сторонах образца накапливаются носители с противоположным спином, а не заряды разных знаков. В свою очередь, квантовый спиновый эффект Холла является частным случаем квантового эффекта Холла: когда носители заряда с противоположным спином движутся в разные стороны, и в результате происходит перенос спина без переноса заряда.  Последним членом в семействе эффектов Холла оказывается квантовый аномальный эффект Холла. Как и в случае перехода от обычного эффекта Холла к аномальному эффекту Холла, КАЭХ должен реализовывать квантовый эффект Холла без приложения внешнего магнитного поля. Кроме того, квантовый аномальный эффект Холла может быть рассмотрен как квантовый спиновый эффект Холла с одним подавленным направлением движения носителей заряда на краевых состояниях. Одно из направлений движения может быть подавлено за счет магнитного порядка в образце [33]. Возможность реализации КАЭХ появилась с открытием топологических изоляторов [34]. 
Квантовый аномальный эффект Холла (КАЭХ) — это квантовый эффект Холла, который возникает на краях проводника без приложенного внешнего магнитного поля. Он является последним членом семейства эффектов Холла, которые могут быть реализованы в топологических изоляторах.