1.4 Комбинация топологии и магнетизма в топологических изоляторах.
 Для появления топологически различимых фаз необходимо наличие симметрии, и в случае трехмерных ТИ такой симметрией становится симметрия обращения времени. При наличии такой симметрии выполняется теорема Крамерса, E(k, ↑) = E(−k, ↓), где стрелки обозначают направление спина. Как уже упоминалось в разделе 1.2, такие условия обуславливают вырождение в точке пересечения ветвей конуса k=0 Å−1, так как энергии электронов со спинами вниз и вверх равны.  Однако, симметрия обращения времени нарушается в магнитном поле. Это не приводит к разрушению топологических поверхностных состояний, но деформирует их. Наличие магнитного порядка в ТИ может приводить к тому, что теорема Крамерса перестаёт действовать, вырождение в точке Дирака снимается [43], для точки k=0 Å−1 появляются два возможных значения энергии и, следовательно, открывается запрещенная зона в конусе Дирака топологических поверхностных состояний. Зависимость энергии от волнового вектора вблизи точки Дирака теряет линейный характер, и дисперсия состояний конуса Дирака приобретает следующий вид: E=EDP±Ak2+λ2  (1.1)  где EDP — энергетическое положение точки Дирака, + и - соответствуют состоянием верхнего и нижнего конуса, A пропорционально скорости Ферми, k — параллельная составляющая волнового вектора, λ — параметр, характеризующий энергетическую величину открываемой запрещенной зоны в точке Дирака. Из формулы (1.1) можно видеть, что величина открываемой запрещенной зоны будет равна 2Aλ, и что при λ=0 зависимость становится линейной.  Стоит заметить, что одного лишь наличия в веществе частиц, обладающих магнитным моментом, недостаточно для снятия вырождения (открытия запрещенной зоны в топологических поверхностных состояниях); необходим именно магнитный порядок. Должен произойти переход в магнитное состояние — состояние с дальним магнитным порядком, — который совершается при определенной температуре. При температурах выше температуры перехода магнитные моменты разупорядочены. Кроме того, к снятию вырождения приводит только магнитный порядок, направленный перпендикулярно поверхности образца, а параллельная составляющая магнитного момента вызывает только параллельный сдвиг топологических состояний. На рисунке 1.5 показано влияние магнитных примесей на состояния конуса Дирака в ТИ; такое поведение подтверждается экспериментальными наблюдениями [16].   Рис. 1.5 Форма конуса Дирака для немагнитного ТИ (а) и деформация конуса Дирака для ТИ с магнитным моментом, перпендикулярным поверхности, и открытой запрещенной зоной в точке Дирака (б). Взято из [44]   Кроме вышеперечисленных условий, существуют и другие, обусловленные проблемами, вызываемыми наличием магнитных примесей в образце. При наличии таких примесей происходит увеличение дефектности вещества, снижение качества образцов и уменьшение подвижности электронов [12]. По этой причине эффекты, которые должны появляться при комбинации топологии и магнетизма, экспериментально реализуются при более низких температурах, чем температура магнитного перехода. Например, для квантового аномального эффекта Холла в ТИ, легированных магнитными примесями, температура реализации составляет (0.1-1K) [11] — это на несколько порядков меньше, чем температура магнитного перехода в таких образцах.
В разделе 1.2 мы рассмотрели условия, необходимые для возникновения топологических поверхностных состояний в ТИ. В разделе 1.3 мы показали, что для этого необходимо наличие симметрии, которая нарушается в магнитном поле. В разделе 1.4 мы рассмотрели, как это нарушение влияет на свойства ТИ, и как это может приводить к появлению аномальных эффектов. В разделе 1.5 мы показали, как наличие магнитных примесей в веществе может приводить к изменению состояния конуса Дирака в ТИ.