1.2 Топологические изоляторы: зонная теория.
 Топологические изоляторы (ТИ) — материалы, являющиеся изоляторами в объеме, но обладающие проводящими поверхностными состояниями при контакте поверхности материала с тривиальным изолятором (в том числе, с вакуумом) [34]. Такое поведение вызвано инверсией зон в ТИ. Следствие такой инверсии выражается в том, что не существует способа непрерывной модификации гамильтониана из состояния ТИ в состояние тривиального изолятора. Таким образом, при сшивании волновой функции электрона на границе топологического и тривиального изоляторов неизбежно возникают топологические поверхностные проводящие состояния (см. рис. 1.2). Такие состояния устойчивы, поскольку защищены от разрушения условиями формирования топологической фазы [31, 35, 36], и могут быть деформированы со снятием вырождения (но не уничтожены) лишь в присутствии магнитного поля, то есть, с условием снятия симметрии обращения времени.   Рис. 1.2 Схематическое изображение перехода между тривиальным (слева) и нетривиальным (справа) топологическим состояниями изолятора через закрытие запрещенной зоны. Цвет линий отображает четность состояний. Взято из [37].   Инверсия зон, необходимая для перехода материала в класс ТИ, возникает за счет спин-орбитального взаимодействия. Спин-орбитальное взаимодействие входит в гамильтониан в виде HSO = λL·S, где L, S — орбитальный и спиновый моменты, λ — сила спин-орбитального взаимодействия. Инверсия зон наблюдается, если параметр λ становится больше критического значения λ>λc [38]. Сила спин-орбитального взаимодействия λ, в свою очередь, зависит от множества других параметров. Например, двумерная структура HgTe/CdTe будет являться ТИ если толщина слоя HgTe d будет превышать критическое значение d>dc [39]. Для построения эффективного гамильтониана и предсказания топологической тривиальности или нетривиальности системы необходимо учитывать симметрию инверсии, симметрию обращения времени, симметрию вращения второго порядка относительно оси y и симметрию вращения третьего порядка относительно оси z, а также важна инверсия зон в Г точке. Такой анализ позволяет предсказать различие между материалами с одинаковой кристаллической структурой Sb2Te3 и Sb2Se3: несмотря на то, что Te и Se обладают одинаковой валентностью, Sb2Se3 является тривиальным изолятором, а Sb2Te3 — ТИ [38].  Структура топологических поверхностных проводящих состояний, возникающая при контакте ТИ с тривиальным изолятором, в обратном пространстве имеет характерный вид. Эти состояния локализуются в фундаментальной запрещенной зоне, соединяя валентную зону и зону проводимости, и зачастую смешиваются с данными зонами на краях. Состояния образованы безмассовыми дираковскими фермионами и имеют линейную дисперсию, при этом спин электронов жестко связан с волновым вектором и направлен перпендикулярно к нему. В точке с волновым вектором равном нулю (k=0 Å−1) согласно теореме Крамерса E(k, ↑) = E(−k, ↓) (стрелки обозначают направление спина) происходит вырождение. В итоге, топологические поверхностные состояния трехмерного ТИ имеют вид конуса Дирака, с геликоидальным направлением спина и единственной точкой вырождения — точкой Дирака (рис. 1.3) [34].    Рис. 1.3 Конус Дирака топологических поверхностных состояний. Точка Дирака располагается в точке высокой симметрии Г. Синие стрелки обозначают направление спина. Шестиугольник описывает первую зону Бриллюэна. Взято из [34].   Наблюдаемый в эксперименте конус Дирака имеет неодинаковую для различных направлений форму из-за влияния структуры кристаллической решётки. В окрестности точки Дирака состояния сохраняют линейную дисперсию, но вдали от неё состояния смешиваются с состояниями валентной зоны и зоны проводимости и искажаются. Линейная дисперсия в окрестности точки Дирака сохраняется только в отсутствии магнитного поля.
Топологические изоляторы — материалы, обладающие проводящими поверхностными состояниями при контакте поверхности материала с тривиальным изолятором (в том числе, с вакуумом). Такое поведение вызвано инверсией зон в ТИ. Следствие такой инверсии выражается в том, что не существует способа непрерывной модификации гамильтониана из состояния ТИ в состояние тривиального изолятора.